九年级数学（上册）知识详解。
第一章：证明（二）
§1.3 线段的垂直平分线。
本节知识包括线段的垂直平分线的性质定理和它的逆定理。同时，我们应该掌握线段的垂直平分线的尺规作图的方法。由于将线段垂直平分线上任意一点和线段的两个端点连接起来就出现了等腰三角形，因此，利用等腰三角形的相关知识解决与垂直平分线有关的问题是常用的方法之一。
另外，我们还应该掌握三角形三边垂直平分线交于一点的性质，并知道这一点到三角形三个顶点的距离相等，以及该点所在位置与三角形形状之间的关系。
一、学习目标要求。
1、理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理和它的逆定理；
2、理解三角形三边的垂直平分线会交于一点，且该点到三角形三顶点的距离相等；
3、掌握线段的垂直平分线的尺规作图法。
二、重点与难点：
重点：线段垂直平分线的性质定理和它的逆定理。
难点：线段垂直平分线的性质定理和它的逆定理的区别、联系以及实际应用。
三、知识要点。
1、线段垂直平分线的性质定理。
1）线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等。
定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段ab垂直相交于点d，且ad＝bd，若点c在直线m上，则ac＝bc.
定理的作用：可以用该定理证明两条线段相等。
2）线段垂直平分线的性质定理的拓展：
在具体问题中，我们如果知道一条线段与另一条线段垂直且将其平分，也就是满足了线段垂直平分线的性质定理，因此该定理的结论即可得到。
2、线段垂直平分线的逆定理。
1）线段垂直平分线的逆定理。
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段ab垂直相交于点d，且ad＝bd，若ac＝bc，则点c在直线m上。
定理的作用：可以用该定理证明一个点在某线段的垂直平分线上。
2）注意线段垂直平分线的性质定理与逆定理的区别，且在应用时不要缺少条件。
3、三角形三边垂直平分线定理：
1）三角形三边垂直平分线定理：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
定理的数学表示：如图3，如果直线分别是△abc三边ab、bc、ca的垂直平分线，那么直线相交于一点o，且oa＝ob＝oc.
定理的作用：证明三角形内的线段相等。
2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部。反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形。
4、作已知线段的垂直平分线：
如图4，已知线段ab，求作：直线pq，使pq垂直平分线ab.
作法：（1）分别以a、b为圆心，以大于ab的长为半径作弧，两弧交于p、q两点；（2）作直线pq.
四、典型例题解析。
例1、如图5，在△abc中，ac＝27，ab的垂直平分线交ab于点d，交ac于点e，△bce的周长为50，求bc边的长。
解：∵de垂直平分ab，∴ae＝be，ac＝ae＋ce＝be＋ce＝27，又∵be＋ec＋bc＝50，bc＝50－27＝23，即bc的长为23.
例2、如图6，已知点p是△abc的bc边的垂直平分线上一点，且∠a＝2∠pbc，bp、cp的延长线分别交ac、ab于点d、e，求证：be＝cd.
解：在bd上取一点f，使得bf＝ce，连接cf，pg是bc的垂直平分线，∴pb＝pc，∠pbc＝∠pcb，pe＝ce－pc＝bf－pb＝pf，由pb＝pc，∠bpe＝∠cpf，pe＝pf得△pbe≌△pcf，be＝cf，∠pbe＝∠pcf，∠cdf＝∠a＋∠abd＝2∠pbc＋∠pbe＝∠pbc＋∠pcb＋∠pcf＝∠pbc＋∠bcf＝∠cfd，cd＝cf， ∴be＝cd.
例3、如图7，已知ad是△abc的bc边上的高，且∠b＝2∠c，求证：cd＝ab＋bd.
证明：在cd上取一点e，使得de＝db，连接ae，则ae＝ab，∠b＝∠aeb，∵∠b＝2∠c，∠aeb＝∠c＋∠cae
∠c＝∠cae，∴ae＝ce， ∴cd＝ce＋de＝ae＋bd＝ab＋bd.
例4、如图8，有甲、乙、丙三个工厂分别位于点a、b、c的位置处，现需要修建一个供水站，使它到三个工厂的距离相等，请你在图中作出该供水站的位置（要求用尺规作图，保留作图痕迹，并写出作法）.
作法：如图9，点p即为所求。具体作法如下：
1）连接ab、ac，2）作ab的垂直平分线ef，3）作ac的垂直平分线gh，则，直线ef与gh的交点p即为所求。
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