南通市数学学科基地命题。
第ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．
1. 设，是实数，若（是虚数单位），则的值是 ．
2. 若全集，集合，，则 ．
3. 平行四边形中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点，则点。
取自内部的概率为 ．
4. 为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区名高三男生的体重。 根据抽样测量后的男生体重（单位：
）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ．
第5题图）5. 运行如图语句，则输出的结果 ．
6. 设等比数列的前项和为，若，则 ．
7. 若关于的不等式的解集为，则实数 ．
8. 已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且，则棱锥。
的体积为 ．
9. 已知锐角，满足，则的最大值为 ．
10. 已知双曲线的渐近线与圆相交，则双曲线离。
心率的取值范围是 ．
11. 设函数的图像与轴交于点，过点的直线与函数。
的图像交于另外两点、.是坐标原点，则 ．
12. 当对数函数且的图像至少经过区域内的一个点。
时，实数的取值范围为 ．
13. 设等差数列满足，公差。 若。
当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是 ．
14. 从轴上一点分别向函数与函数引不是水平方向的切线和。
两切线、分别与轴相交于点和点，为坐标原点，记的面积为，的面积为，则的最小值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分。
15.（本小题满分14分）已知，且．
1）求证：；
2）若，求的值．
16.（本小题满分14分）如图，在四面体中，，点是的中点，点**段上， 且．
1）若∥平面，求实数的值；
（2）求证：平面平面．
17.（本小题满分14分）某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质。 已知每投放质量为个单位的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于（毫克/升）且不高于（毫克/升）时称为最佳净化。
1）如果投放的药剂质量为，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
2）如果投放的药剂质量为，为了使在天（从投放药剂算起包括第天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量的取值范围。
18. (本小题满分16分) 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右焦点为，且椭圆上的点到点距离的最小值为．
1）求，的值；
2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆及直线分别相交于点．
①当过三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；
②若，求的面积．
19.（本小题满分16分）已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）设，求证：；
3）对于定义域为d的函数，如果存在区间，使得时，的值域是，则称是该函数的“保值区间”．
设，问函数是否存在“保值区间”？若存在，请求出一个“保值区间”； 若不存在，请说明理由．
20.（本小题满分16分）已知数列的各项均为正数，数列，满足，．
1）若数列为等比数列，求证：数列为等比数列；
2）若数列为等比数列，且，求证：数列为等比数列．
第ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括a、b、c、d四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
a．（选修４－１几何证明选讲）在中，已知，是的平分线，的外接圆交边于点，求证：．
b．（选修４－２矩阵与变换）已知二阶矩阵的特征值所对应的一个特征向量．
1）求矩阵；
2）设曲线在变换矩阵作用下得到的曲线的方程为，求曲线的方程．
c．（选修４－４坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，设是椭圆。
上在第一象限的点，和是椭圆的两个顶点，求四边形的面积的。
最大值。d．（选修４－５不等式选讲）设，求证：，等号当且仅当时成立。
必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分。
22．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下： ①该福利彩票中奖率为；②每张中奖彩票的中奖奖金有元，元和元三种；③顾客购买一张彩票获得元奖金的概率为，获得元奖金的概率为。
1）假设某顾客一次性花元购买张彩票，求该顾客中奖的概率；
2）设福彩中心卖出一张彩票获得的资金为元，求的概率分布（用表示）；
3）为了能够筹得资金资助福利事业， 求的取值范围。
23．（1）设，试比较与的大小；
2）是否存在常数，使得对任意大于的自然数都成立？若存在，试求出的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
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答案自己找老师核对。第 卷 必做题，共160分 一 填空题 本大题共14小题，每小题5分，共70分 1 已知集合，且，则实数的值为 2 设，其中是虚数单位，则 3 已知函数是奇函数，当时，且，则 4 右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 5 设点，是球表面上的四个点，两两互相垂。直，且，则球...
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