2024年高考数学模拟试题（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1., 若对应点在第二象限，则m的取值范围为 ．
2.已知全集，集合，则中最大的元素是 ．
3．已知，若函数的最小正周期是2,则 ．
4.执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是。
while <10
end while
print “”
5．已知函数，，则的单调减区间是。
6．在数轴上区间内，任取三个点，则它们的坐标满足不等式：的概率为 ．
7．p为抛物线上任意一点，p在轴上的射影为q，点m（4，5），则pq与pm长度之和的最小值为。
8、设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列正确命题的序号是 ．
1)若m∥,n∥,则m∥n2)若则。
3)若，且，则；(4)若，，则。
9. 定义在上满足：，当时， =则= ．
10.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时 ．
11.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第行第3个数字是 ．
12. 已知正方形的坐标分别是， ,动点m满足：则 ．
13. “是“对正实数，”的充要条件，则实数 ．
14.函数的定义域为，若满足①在内是单调函数，②存在，使在上的值域为，那么叫做对称函数，现有是对称函数， 那么的取值范围。
是。二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤。
15．已知二次函数f (x)=x2+mx+n对任意x∈r，都有f (－x) =f (2＋x)成立，设向量= (sinx , 2 ) 2sinx ,)cos2x , 1 )，1,2)，ⅰ求函数f (x)的单调区间；
ⅱ）当x∈[0,π]时，求不等式f (·f (·的解集。
16．在如图的多面体中，⊥平面，,，是的中点．
ⅰ) 求证：平面；
ⅱ) 求证：；
ⅲ)求多面体的体积。
17．已知双曲线的两焦点为，为动点，若．
ⅰ）求动点的轨迹方程；
ⅱ）若，设直线过点，且与轨迹交于、两点，直线与交于点．试问：当直线在变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
18．如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为o，通过细绳悬挂在天。
花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离为2m，在圆。
环上设置三个等分点a1，a2，a3。点c为上一点（不包含端点o、b），同时点c与点a1，a2，a3，b均用细绳相连接，且细绳ca1，ca2，ca3
的长度相等。设细绳的总长为。
1）设∠ca1o = rad)，将y表示成θ的函数关系式；
2）请你设计，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并。
指明此时 bc应为多长。
19．已知，数列有（常数），对任意的正整数，并有满足。
1）求的值；（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；（3）令，是否存在正整数m，使不等式恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由。
20．(本小题满分16分)
函数的导数为0的点称为函数的驻点，若点(1,1)为函数f(x)的驻点，则称f(x)具有“1—1驻点性”.
1）设函数f(x)=-x+2+alnx，其中a≠0。
求证：函数f(x)不具有“1—1驻点性”；②求函数f(x)的单调区间。
2）已知函数g(x)=bx3+3x2+cx+2具有“1—1驻点性”，给定x1，x2r，x1＜x2，设λ为实数，且λ≠-1，α=若|g(α)g(β)g(x1)-g(x2)|，求λ的取值范围。
加试卷(1)
1．求矩阵m=的特征值及其对应的特征向量。
2. 在平面直角坐标系中，椭圆c的参数方程为，其中为参数。以o为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为。
求椭圆c上的点到直线l距离的最大值和最小值。
3. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，⊥ac，m是的中点，n是bc的中点，点p在直线上，且满足。
ⅰ）当取何值时，直线pn与平面abc所成的角最大？
ⅱ）若平面pmn与平面abc所成的二面角为，试确定点p的位置。
4. 已知数列满足：.
ⅰ）求证：使；
ⅱ）求的末位数字。
数学ⅰ（必做部分）参***。
6.的实质是点在点之间，故考虑它们的排列顺序可得答案为。
7. 焦点=,而的最小值是，所以答案为。
10当离圆最远时最小，此时点坐标为：记，则，计算得= 11.，
12.设点的坐标为，∵，整理，得（），发现动点m的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为两点，所以。
13. 若则不符合题意，若则于是，亦可转化为二次函数恒成立展开讨论。
14.由于在上是减函数，所以关于的方程在上有两个不同实根。通过换元结合图象可得。
15．解；（1）设f(x)图象上的两点为a(－x,y1）、b(2＋x, y2），因为=1
f (－x) =f (2＋x)，所以y1= y2
由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，x≥1时，f(x)是增函数 ；x≤1时，f(x)是减函数。
2）∵·sinx，2）·（2sinx,）=2sin2x＋1≥1，=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1，f(x)在是[1，+∞上为增函数，∴f (·f (·f(2sin2x＋1)＞ f(cos2x＋2)
2sin2x＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x＋2
cos2x＜02kπ＋＜2x＜2kπ＋,k∈z
kπ＋＜x＜kπ＋,k∈z ∵0≤xx＜
综上所述，不等式f (·f (·的解集是： 。
16．解：(ⅰ证明：∵，
又∵,是的中点， ∴四边形是平行四边形，∴.
平面，平面，∴平面。
ⅱ)证明：∵平面，平面，∴，
又，平面，∴平面。
过作交于，则平面。
平面， ∴四边形平行四边形，∴，又，∴四边形为正方形，∴，
又平面，平面，∴⊥平面。
平面， ∴ⅲ) 平面，，∴平面，
由（2）知四边形为正方形，∴.
17．解法一：
ⅰ）由题意知：，又∵，∴动点必在以为焦点，长轴长为4的椭圆，∴，又∵，．
椭圆的方程为．
ⅱ）由题意，可设直线为：．
1 取得，直线的方程是。
直线的方程是交点为
若，由对称性可知交点为。
若点在同一条直线上，则直线只能为．
以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上．
事实上，由，得即，记，则．
设与交于点由得。
设与交于点由得，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上．
解法二：ⅰ）同解法一．
ⅱ）取得，直线的方程是直线的方程是交点为。
取得，直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上，则直线只能为．
以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上．
事实上，由，得即，记，则．
的方程是的方程是。
消去得。以下用分析法证明时，①式恒成立。
要证明①式恒成立，只需证明。
即证即证。∴②式恒成立．
这说明，当变化时，点恒在定直线上．
解法三：（ⅰ同解法一．（ⅱ由，得即．
记，则．的方程是的方程是 由得 即。
这说明，当变化时，点恒在定直线上．
18. （解：在△coa1中，2分。
）……7分。
令，则12分。
当时，；时，在上是增函数。
当角满足时，y最小，最小为；此时bcm …16分。
19解：（1）由已知，得， ∴
（2）由得则，，即，于是有，并且有，即，而是正整数，则对任意都有，数列是等差数列，其通项公式是。
由是正整数可得，故存在最小的正整数m=3，使不等式恒成立。
20．解：（ⅰ1++ 1+1+a≠0，函数f(x)不具有“1—1驻点性2分。
由== ⅰ)当a+＜0,即a＜-时，＜0.∴f(x)是(0,+∞上的减函数；
ⅱ)当a+=0,即a=-时，显然≤0.∴f(x)是(0,+∞上的减函数4分。
ⅲ)当a+＞0，即a＞-时，由=0得6分。
当-＜a＜0时， -0∴x(0, a+-)时，＜0;
x( a+-,a++)时，＞0; x( a++,时，＜0;
当a＞0时， -0 ∴x(0, a++)时，＞0; x( a++,时，＜0;
综上所述：当a≤-时，函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞
当-＜a＜0时，函数f(x)的单调递减区间为(0, a+-)和( a++,函数f(x)的单调递增区间为( a+-,a++)
当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(0, a++)函数f(x)的单调递减区间为( a9分。
ⅱ）由题设得： =3bx2+6x+c,∵g(x)具有“1—1驻点性”∴且。
即解得∴=-3x2+6x-3=-3(x-1)2≤0，故g(x)在定义域r上单调递减。
当λ≥0时，有α=≥x1，α=x2，即α[x1,x2),同理β(x1,x2] …11分。
由g(x)的单调性可知：g(α)g(β)g(x2),g(x1)]∴g(α)g(β)g(x1)-g(x2)|与题设|g(α)g(β)g(x1)-g(x2)|不符。
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