2023年寒假九年级数学学科练习（1）
姓名班级。1．如图1，在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2的对称轴绕着点p（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于a、b两点，点q是该抛物线上一点。
（1）求直线ab的函数表达式；
★（2）如图1，若点q在直线ab的下方，求点q到直线ab的距离的最大值；
★★（3）如图2，若点q在y轴左侧，且点t（0，t）（t<2）是射线po上一点，当以p、b、q为顶点的三角形与△pat相似时，求所有满足条件的t的值．
2．如图，抛物线经过点a(4，0)、b（1，0)、c（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
★（2）p是抛物线上的一个动点，过p作pm⊥x轴，垂足为m，是否存在点p，使得以a、p、m为顶点的三角形与△oac相似？若存在，请求出符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由；
★★（3）在直线ac上方的抛物线是有一点d，使得△dca的面积最大，求出点d的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点a(2, m)．
（1）求k与m的值；
★（2）此双曲线又经过点b(n, 2)，过点b的直线bc与直线y＝x＋2平行交y轴于点c，联结ab、ac，求△abc的面积；
★★（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点d，在射线cb上有一点e，如果以点a、c、e所组成的三角形与△acd相似，且相似比不为1，求点e的坐标．
4．如图，已知抛物线[x^\\frac(b+1)x+\\frac', altimg': w': 196', h':
43'}]b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点a、b（点a位于点b是左侧），与y轴的正半轴交于点c．
（1）点b的坐标为___点c的坐标为用含b的代数式表示）；
★（2）请你探索在第一象限内是否存在点p，使得四边形pcob的面积等于2b，且△pbc是以点p为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点p的坐标；如果不存在，请说明理由；
★★（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点q，使得△qco、△qoa和△qab中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点q的坐标；如果不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系xoy中，顶点为m的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点a和x轴正半轴上的点b，ao＝bo＝2，∠aob＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
★（2）连结om，求∠aom的大小；
★★（3）如果点c在x轴上，且△abc与△aom相似，求点c的坐标．
初三数学寒假作业
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