第三节函数的性质。
a组。1．设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系为___
解析：由f(x)为偶函数，知b＝0，∴f(x)＝loga|x|，又f(x)在(－∞0)上单调递增，所以0f(b＋2)．答案：f(a＋1)>f(b＋2)
2．(2024年广东三校模拟)定义在r上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于___
解析：f(x)为奇函数，且x∈r，所以f(0)＝0，由周期为2可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又由f(x＋2)＝f(x)，令x＝－1得f(1)＝f(－1)＝－f(1)f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝0.答案：
03．(2024年高考山东卷改编)已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为___
解析：因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因为f(x)在r上是奇函数，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)>f(0)＝0，所以－f(1)<0，即f(－25)答案：f(－25)4．(2024年高考辽宁卷改编)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞上单调增加，则满足f(2x－1)解析：
由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(|x|)，由f(|2x－1|)5．(原创题)已知定义在r上的函数f(x)是偶函数，对x∈r，f(2＋x)＝f(2－x)，当f(－3)＝－2时，f(2011)的值为___
解析：因为定义在r上的函数f(x)是偶函数，所以f(2＋x)＝f(2－x)＝f(x－2)，故函数f(x)是以4为周期的函数，所以f(2011)＝f(3＋502×4)＝f(3)＝f(－3)＝－2.答案：
－26．已知函数y＝f(x)是定义在r上的周期函数，周期t＝5，函数y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式；(3)求y＝f(x)在[4,9]上的解析式．
解：(1)证明：∵f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)＝f(4－5)＝f(－1)，又∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(4)，∴f(1)＋f(4)＝0.
2)当x∈[1,4]时，由题意可设f(x)＝a(x－2)2－5(a>0)，由f(1)＋f(4)＝0，得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2－5(1≤x≤4)．
3)∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)＝0，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)＝kx(0≤x≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k＝－3，∴当0≤x≤1时，f(x)＝－3x，从而当－1≤x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－3x，故－1≤x≤1时，f(x)＝－3x.∴当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴f(x)＝f(x－5)＝－3(x－5)＝－3x＋15.当6∴f(x)＝.
b组。1．(2024年高考全国卷ⅰ改编)函数f(x)的定义域为r，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则下列结论正确的是___
f(x)是偶函数 ②f(x)是奇函数 ③f(x)＝f(x＋2)
f(x＋3)是奇函数。
解析：∵f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，∴函数f(x)关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f(x)是周期t＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，f(－x＋3)＝－f(x＋3)，即f(x＋3)是奇函数．答案：④
2．已知定义在r上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，f(1)＋f(2)＋…f(2009)＋f(2010
解析：f(x)＝－f(x＋)f(x＋3)＝f(x)，即周期为3，由f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，所以f(1)＝－1，f(2)＝－1，f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…f(2009)＋f(2010)＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.答案：
03．(2024年浙江台州模拟)已知f(x)是定义在r上的奇函数，且f(1)＝1，若将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…f(2010
解析：f(x)是定义在r上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f(－2＋x)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以周期为4，f(1)＝1，f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…f(2010)＝f(4)×502＋f(2)＝0.答案：
04．(2024年湖南郴州质检)已知函数f(x)是r上的偶函数，且在(0，＋∞上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)<0的解集是___
解析：在(0，＋∞上有f′(x)>0，则在(0，＋∞上f(x)是增函数，在(－∞0)上是减函数，又f(x)在r上是偶函数，且f(－1)＝0，∴f(1)＝0.从而可知x∈(－1)时，f(x)>0；x∈(－1,0)时，f(x)<0；x∈(0,1)时，f(x)<0；x∈(1，＋∞时，f(x)>0.
∴不等式的解集为(－∞1)∪(0,1)答案：(－1)∪(0,1)．
5．(2024年高考江西卷改编)已知函数f(x)是(－∞上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2009)＋f(2010)的值为___
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2009)＝f(2009)．∵f(x)在x≥0时f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期为2.∴f(－2009)＋f(2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝0＋1＝1.
答案：1
6．(2024年江苏苏州模拟)已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x＋2)＝－若当2解析：由f(x＋2)＝－可得f(x＋4)＝f(x)，f(2009.5)＝f(502×4＋1.
5)＝f(1.5)＝f(－2.5)∵f(x)是偶函数，∴f(2009.
5)＝f(2.5)＝.答案：
7．(2024年安徽黄山质检)定义在r上的函数f(x)在(－∞a]上是增函数，函数y＝f(x＋a)是偶函数，当x1a，且|x1－a|<|x2－a|时，则f(2a－x1)与f(x2)的大小关系为___
解析：∵y＝f(x＋a)为偶函数，∴y＝f(x＋a)的图象关于y轴对称，∴y＝f(x)的图象关于x＝a对称．又∵f(x)在(－∞a]上是增函数，∴f(x)在[a，＋∞上是减函数．当x1a，且|x1－a|<|x2－a|时，有a－x1f(x2)．答案：f(2a－x1)>f(x2)
8．已知函数f(x)为r上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a
解析：当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)>0，由f(x)为奇函数知x<0时，f(x)<0，∴a<0，f(－a)＝2，∴－a(－a＋1)＝2，∴a＝2(舍)或a＝－1.答案：－1
9．(2024年高考山东卷)已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4
解析：因为定义在r上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)，因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4.
由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8. 答案：-8
10．已知f(x)是r上的奇函数，且当x∈(－0)时，f(x)＝－xlg(2－x)，求f(x)的解析式．
函数的性质与图像 作业
26.二次函数的图象如图所示，对于下列结论 a 0 b 0 c 0 b 2a 0 a b c 0.其中正确的个数是 a.1个b.2个c.3个d.4个。27.如图，在中，的半径为2，点p是线段ab上的一动点，过点p作的一条切线pq，q为切点。设，则与的函数图象大致是 a.ab.bc.cd.d 28.二...
函数的性质
北京2013届高三最新模拟试题分类汇编 含9区一模及上学期期末试题精选 专题 函数。一 选择题。2013届北京大兴区一模理科 若集合，则 a b c d 2013届北京市延庆县一模数学理 已知函数，则 a b c d 北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 设函数则 a b 1 c d...
函数的性质
姓名。1 2010年广东三校模拟 定义在r上的函数f x 既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f 1 f 4 f 7 等于 2 2009年高考山东卷改编 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0,2 上是增函数，则f 25 f 11 f 80 的大小关系为 3 2009年...