一、填空题。
1. 在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是。
答案：45 46
2．已知，且则。
答案： 3．若，，则对任意，使的概率为。
答案： 4. 从中随机选取一个数记为k,从中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为。
答案： 5. 已知函数，则“-2≤a≤0”是“f(x)在r上单调递增”的 ▲ 条件。(填充分不必要、必要不充分或充要)
答案：必要不充分。
6. 函数y=f(x)的图像在点m(1, f(1))处的切线方程是y=3x-2，则f(1)+ f ′(1
答案：∵切点既在曲线上也在切线上，f(1)=3-2=1，f ′(1)=3，∴f(1)+ f ′(1)=4。
7. 若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是。
答案：48．已知分别是椭圆的左、右焦点，若在椭圆的右准线上存在一点，使得线段的垂直平分线过点，则离心率的取值范围是。
答案： 9．设函数，为坐标原点，为函数图像上横坐标为的点，向量， ,设为与的夹角，则。
答案：,即为向量与轴的夹角，所以，所以。
10．某时钟的秒针端点a到中心点o的距离为5cm，秒针均匀地绕点o旋转，当时间t=0时，点a与钟面上标12的点b重合。 将a、b两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d其中t∈[0,60]。
答案： 11. 如图，在直角三角形abc中，e为斜边ab的中点，cd⊥ab，ab=1，则的最大值是。
答案： 12．如图，线段点**段上，且为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点设面积为。 则的最大值为。
答案： 二、解答题。
一）三角。13. 在中，角的对边分别为。
（1）求的值；（2）求的面积。
解：（1）因为为的内角，，所以所以。
2）由（1），知因为，所以在中，所以的面积。
14.已知在中，角的对边分别为向量。
1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值。
解：1 当时，、
2 当时，
二）立几。15. 如图，直三棱柱中，分别为的中点。
1）求证//平面。
2）当时，求证：平面平面。
证明：（1）
2）连结得四边形是正方形，连结则与的交点即为的中点，又是的中点，
16. 平行四边形abcd中，cd=1，∠bcd=60°，且bd⊥cd，正方形adef所在平面与平面abcd垂直，g，h分别是df，be的中点。
1)求证：bd⊥平面cde；
2)求证：gh∥平面cde；
3)求三棱锥d-cef的体积。
解：(1)证明：平面adef⊥平面abcd，交线为ad。
ed⊥ad，∴ed⊥平面abcd.
ed⊥bd。
又∵bd⊥cd，∴bd⊥平面cde。
2)证明：连结ea，则g是ae的中点。
⊿eab中，gh∥ab。又∵ab∥cd，∴gh∥cd，gh∥平面cde。
3)解：设rt⊿bcd中bc边上的高为h。
cd=1，∠bcd=60°，∴bc=2，h=。
即点c到平面def的距离为，vd-cef=vc-def=··2·2·=。
三）应用题。
17. 如图，海岸线，现用长为的拦网围成一养殖场，其中．
1)若， 求养殖场面积最大值；
2)若、为定点，，在折线内选点， 使，求四边形养殖场dbac的最大面积；
3)若(2)中b、c可选择，求四边形养殖场acdb面积的最大值。
解：(1)设。
所以，△ 面积的最大值为，当且仅当时取到．
2)设为定值)． 定值) ，由，a =l，知点在以、为焦点的椭圆上，为定值．
只需面积最大，需此时点到的距离最大， 即必为椭圆短轴顶点．面积的最大值为，因此，四边形acdb面积的最大值为．
3)先确定点b、c，使。 由(2)知为等腰三角形时，四边形acdb面积最大。
确定△bcd的形状，使b、c分别在am、an上滑动，且bc保持定值，由(1)知ab=ac时，四边形acdb面积最大。
此时，△acd≌△abd，∠cad=∠bad=θ，且cd=bd=.
s=.由(1)的同样方法知，ad=ac时，三角形acd面积最大，最大值为。
所以，四边形acdb面积最大值为。
18.某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5）的税收．设每件产品的日售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．
1）求该商店的日利润l（x）元与每件产品的日售价x的函数关系式；
2）当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润l（x）最大，并求出l（x）的最大值．
解：（1）设日销售量为，则0，∴．则日销售量为件．
日售价为x元时，每件利润为（x－30－a）元，则日利润。
l（x）＝（x－30－a）
当2≤a≤4时，33≤31＋a≤35，而35≤x≤41，（x）≤0，l（x）在[35，41]上是单调递减函数．
则当x＝35时，l（x）取得最大值为10．
当4＜a≤5时，35＜31＋a≤36，令（x）＝0，得x＝a＋31．
x∈[35，a＋31)时，x）＞0，l（x）在[35，a＋31)上是单调递增函数；
x∈（a＋31，41]时，x）＜0，l（x）在（a＋31，41]上是单调递减函数．
l（x)在[35，41]上连续，当x＝a＋31时，l（x）取得最大值为10．
总之， 四）解几。
19. 中心在原点，焦点在轴上的椭圆的焦距为2，两准线间的距离为10. 设过点作直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点。
1）求椭圆的方程；
2）求证直线过轴上一定点。
3）若过点作直线与椭圆只有一个公共点求过两点，且以为切线的圆的方程。
解：（1）设椭圆的标准方程为。
依题意得：
所以，椭圆的标准方程为。
2）设，，ap=taq，则。
结合，得。设b(x，0)，则，所以，直线过轴上一定点b(1，0).
3）设过点的直线方程为：代入椭圆方程得：
依题意得：即得：
且方程的根为。
当点位于轴上方时，过点与垂直的直线与轴交于点，直线的方程是：
所求的圆即为以线段为直径的圆，方程为：
同理可得：当点位于轴下方时，圆的方程为：
20. 已知依次满足。
（1）求过点的轨迹；
（2）过点作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程；
（3）经过（2）中椭圆上顶点b作直线m，n，使m⊥n，直线m，n分别交椭圆于p，q，连接pq，求证pq经过定点。
解：（1）设。
2）设直线的方程为 ①
椭圆的方程②
由与圆相切得：
将①代入②得：，又，可得，有，∴，
（3）点b(0，2)，直线m：y=kx+2，代入椭圆方程得：x2+2(kx+2)2=8，解出；
直线n：y=(-1/k)x+2，同理得：.
直线pq的方程：.
令x=0，，直线pq经过定点。
五）函数。21. 定义在上的奇函数，满足条件：在时，且。
1）求在上的解析式；
2）求在上的取值范围；
3）若解关于的不等式。
解：（1）是上的奇函数，且时，
时， 又由于是上的奇函数，所以。
综上所述，当时，
2）当时，设。
当时，由可得。
上是增函数，
即在上的取值范围是。
3）据第（2）小题，可知当时，
当时，的解集是；当时，的解集是；
当时，，即。
设不等式变为总成立，又注意到而当时，且。
即。综上可知，不等式的解集如下：
当时，的解集是；
当时，的解集是；
当时，的解集为。
22.已知。
六）数列。23. 有个首项为1，项数为的等差数列，设其第个等差数列的第项为且公差为若也成等差数列。
1）求关于的表达式；
2）将数列分组如下：（每组数的个数组成等差数列），设前组中所有数之和为求数列的前项和。
3）设是不超过20的正整数，当时，对于（2）中的求使得不等式成立的所有的值。
解：（1）则，同理，，，成等差数列。
故。即是公差为的等差数列。
所以， 2）由（1）
数列分组如下：，注意到前个奇数的和为所以前个奇数的和为即前组中所有数之和为，故又从而。
相减得： 所以，
3）由（2），不等式，即。
设函数。当时都有即。
而。注意到当时，单调递增，故有。
因此，当时，成立，即成立。
所以，满足条件的所有正整数。
24．设数列是一个严格递增的正整数数列．
1) 若是该数列的其中两项，求证：;
2) 若该数列的两个子数列和都是等差数列，求证：这两个子数列的公差相等；
3) 若(2)中的公差为1，求证：,并证明数列也是等差数列．
证：(1)由条件知：．
2)设两子数列的首项分别为公差分别为．
即。上式左，右端皆为常数，中间的n,故必须，
3)公差为1,．
又数列是严格递增的正整数数列，又由(1)知．
故即数列是公差为1的等差数列．
三、理科附加。
25. 如图，在直四棱柱中，底面是边长为1，且的菱形，侧棱长为2，是侧棱上的一点，
1）试确定，使直线与平面所成角为。
2）**段上是否存在一个定点，使得对任意的，，并证明你的结论。
解：（1）如图，连接交于以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系。
又。则为平面的一个法向量，设与面所成的角为，则。
解得。即当时，直线与平面所成角为。
2）假设在上存在这样的点，设点则。
若。即为的中点时，满足题设的要求。
26. 已知函数。
1）当曲线在处的切线与直线平行时，求的值；
高考调研数学
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