我们已经知道，在“西萨的故事”中西萨要求的麦粒数组成的数列是：1，2，22，23，262，263 ①
于是西萨获得麦粒数是1＋2＋22＋23＋…＋263＝264－1＝18446744073551615．
有人算过，每一立方米的容量，大约可以贮放1500000粒麦子，这就是说，西萨获得的赏赐要有12000000000000＝1.2×1013立方米的地方来贮藏，假若仓库高4 m，宽10 m，那么它的长就达3×108 km——约等于地球到太阳的距离的2倍，也相当于绕地球赤道7000圈那么长，它的总量相当于全世界在两千年内所生产的全部小麦！
由此看来，这个印度皇帝根本无法付出这笔奖赏，不过这些麦粒数的和264－1是怎样算出来的呢？这需要我们研究数列①的特点．
这个数列与等差数列不同，其特点是，从第二项起，每一项都是前一项的2倍，或者说，每一项和它前一项的比都是2．
再看一个例子，某人有人民币x元，假设储蓄的年利率为r（0这个数列也是从第二项起，每一项都是前一项的（1＋r）倍，或者说，每一项和它前一项的比都是1＋r．
具有上述特点的数列，我们称为等比数列．等比数列在实际生活中有广泛地应用，本节将系统学习等比数列的基础知识和计算方法．
学习目标】1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能应用通项公式解决一些简单问题．
2）理解等比中项的概念，并能运用它解决相关问题．
学习障碍】1．对等比数列的概念理解不够全面，做题时仍有这样或那样一些错误．
2．n个数成等比数列，如何用最少的字母、最简洁的形式表示出这n个数，容易出现错误．表达形式并导致错误结果．
3．求等比中项或开偶次方求公比q时，往往会丢掉负根．
4．对于可以转化为等比数列的某些数列，由于不熟悉，看不出项与项之间的内在联系，导致求通项an时出现困难．
学习策略】．学习导引。
1．阅读课本p124~126．
2．本节课主要学习以下三个方面的问题：
1）等比数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．公比通常用字母q表示（q≠0）．
2）等比数列的通项公式：根据等比数列的定义＝q（n≥2，且n∈n*），归纳出通项公式为an＝a1qn－1（n∈n*）
3）等比中项定义：如果在a与b中间插入一个数g，使a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项．
g是a与b的等比中项g2＝abg＝±．
．知识拓宽。
1．等比数列的判定方法：
1）＝q（q是不为0的常数，n∈n*）是等比数列．
2）an＝cqn（c，q均是不为0的常数，n∈n*）是等比数列．
3）an＋12＝an·an＋2（an·an＋1·an＋2≠0，n∈n*）是等比数列．
2．根据等比数列的定义，立即可以得到下面的四个结论：
1）a1≠0，q≠0对n∈n*，an≠0；
2）递增；递减．
3）q＝1是常数数列．
4）q<0是摆动数列．
3．由于等比数列的通项公式an＝a1qn－1可以整理为an＝（）qn，因此，等比数列，即中的各项所表示的点（n，kqn）离散地分布在第一象限或第四象限，其中k＝，并且这些点都在函数y＝k·qx（x∈r）的图象上．
4．通项公式的推广：如果是公比为q的等比数列，那么an＝am·qn－m（怎样证明？）
．障碍分析。
1．怎样理解等比数列的概念？
对等比数列概念的理解要注意：
1）由定义不难得到等比数列的递推形式为＝q（常数）．也就是说，等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能是0．
2）“从第二项起”是因为首项没有“前一项”．
3）均为同一常数，体现了比的意义，同时还要注意公比是每一项与前一项之比，防止前后次序颠倒．
4）递推形式an＋1＝anq与＝q并不等价，等比数列要求an≠0且q≠0．
5）常数列都是等差数列，但不都是等比数列．因为各项都是0的数列是等差数列而不是等比数列．等差数列与等比数列的异同点如下表：
2．怎样在正数a，b之间插入n个数，使它们和原来的两个数成等比数列？
在正数a，b之间插入n个数而形成的等比数列中，首项是a，第n＋2项是b，代入等比数列的通项公式，有b＝aqn＋1．
当n为偶数时，q＝，此时，所插的n个数为a，a，…，a．
当n为奇数时，q＝±，此时，所插的n个数除了上述一组解外，还可以为。
a，…，3．怎样判断一数列是不是等比数列？
例1］数列的前n项之和sn＝an＋b（a，b为常数且a≠0，1），问数列是等比数列吗？若是，写出通项公式；若不是，说明理由．
思路：利用等比数列的定**题．
解：a1＝s1＝a＋b，当n≥2时，an＝sn－sn－1＝（a－1）an－1，又a1＝（a－1）a0＝a－1，因此，若a－1≠a＋b，即b≠－1时，显然数列不是等比数列；
若a－1＝a＋b，即b＝－1时，由an＝（a－1）an－1（n≥1），得＝a（n≥2），故数列是等比数列．
误区点评：对本题容易出现以下误解：
当n≥2时，an＝sn－sn－1＝（a－1）an－1，又a≠0，1，故an≠0，＝a，即数列为等比数列．
上述误解显然忽视了对n＝1时的讨论．
4．怎样用对称设项法求解等比数列问题？
例2］在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8000．求此四数．
思路：用等差及等比的条件，设出四个数．
解：设前三数为a－d，a，a＋d，则有（a－d）＋a＋（a＋d）＝48，a＝16．
再设后三数为、b、bq，则有·b·bq＝b3＝8000，b＝20．
四数为m，16，20，n．
m＝32－20＝12，n＝＝25．
即四数为12，16，20，25．
点评：（1）已知三个数成等比数列，且已知三数之积时，一般设此三数为，a，aq，其中q为公比．这样立即就可求出a的值，从而减少解题的计算量．但若已知四个数成等比数列及这四个数的积时，一般不设为，，aq，aq3，因为这种设法使得四个数的公比为q2．漏掉公比为负数的情形，造成漏解．
2）由等比数列的通项公式可得qm－n＝，若m>n，则q是的（m－n）次方根．在实数范围内，当m－n为奇数时，q＝；当m－n为偶数时，q＝±（q的符号，可以按照所求等比数列的其他条件决定）．
5．如何将某些一般数列问题转化为等比数列问题？
例3］求数列的通项公式：
1）中，a1＝2，an＋1＝3an＋2；
2）中，a1＝2，a2＝5，且an＋2－3an＋1＋2an＝0．
思路：转化为等比数列．
解：（1）an＋1＝3an＋2an＋1＋1＝3（an＋1）
所以是等比数列，∴an＋1＝3·3n－1，∴an＝3n－1
2）an＋2－3an＋1＋2an＝0an＋2－an＋1＝2（an＋1－an），是等比数列，即an＋1－an＝（a2－a1）·2n－1＝3·2n－1
再注意到a2－a1＝3，a3－a2＝3·21，a4－a3＝3·22，…，an－an－1＝3·2n－2，利用迭加法，即可得到an＝3·2n－1－1．
点评：等比数列与等差数列一样，都是常见的基本数列．在处理一些较复杂的数列时，常设法转化为等差或等比数列．本例解题的关键是发现一个等比数列，化生疏为已知．（1）中发现是等比数列．（2）中发现是等比数列．
一般地，有形如an＝pan－1＋q递推关系的数列，可以转化为等比数列．用待定系数法设它可以写成an－λ＝p（an－1－λ）即an＝pan－1＋λ－pλ，比较系数，得q＝λ－pλ，λ则数列是等比数列．
．思维拓展。
例4］已知0（1）写出第一次混合后溶液的浓度a1%．
2）设第n次混合后，浓度为an%，试用an表示an－1．
3）写出an的通项公式．
4）为使溶液的浓度不低于q%，问至少要混合多少次？
思路：计算每次混合后的浓度．
解：∵p－r＝2（p－q），∴2q＝p＋r．
1）a1%＝
2）an＋1%＝（p＋4an）%
3）从上面的结论可知an＋1＝an＋p．
an＋1－p＝（an－p）
数列是以（r－p）为首项，为公比的等比数列．
an－p＝（r－p）（）n－1＝（r－p）（）n，an＝p－（p－r）（）n．
4）由p－（p－r）（）n≥q＝，得（p－r）（）n≤（p－r）
（）n≥2．∴n≥≈3．1，∴n取4．
即至少要混合4次才能使溶液浓度不低于q%．
点评：应用等比数列概念解实际应用题，有时要构造出等比数列．本题构造出等比数列是关键的一步，这需要有一定的观察能力和变形能力．对于解应用问题，要仔细审题，弄清实际问题中所涉及的数学量之间的关系，建立起数学模型，再应用相关数学知识去解决．
等比数列 第一课时 等比数列的概念
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