我们已经知道,在“西萨的故事”中西萨要求的麦粒数组成的数列是:1,2,22,23,262,263 ①
于是西萨获得麦粒数是1+2+22+23+…+263=264-1=18446744073551615.
有人算过,每一立方米的容量,大约可以贮放1500000粒麦子,这就是说,西萨获得的赏赐要有12000000000000=1.2×1013立方米的地方来贮藏,假若仓库高4 m,宽10 m,那么它的长就达3×108 km——约等于地球到太阳的距离的2倍,也相当于绕地球赤道7000圈那么长,它的总量相当于全世界在两千年内所生产的全部小麦!
由此看来,这个印度皇帝根本无法付出这笔奖赏,不过这些麦粒数的和264-1是怎样算出来的呢?这需要我们研究数列①的特点.
这个数列与等差数列不同,其特点是,从第二项起,每一项都是前一项的2倍,或者说,每一项和它前一项的比都是2.
再看一个例子,某人有人民币x元,假设储蓄的年利率为r(0这个数列也是从第二项起,每一项都是前一项的(1+r)倍,或者说,每一项和它前一项的比都是1+r.
具有上述特点的数列,我们称为等比数列.等比数列在实际生活中有广泛地应用,本节将系统学习等比数列的基础知识和计算方法.
学习目标】1)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式,并能应用通项公式解决一些简单问题.
2)理解等比中项的概念,并能运用它解决相关问题.
学习障碍】1.对等比数列的概念理解不够全面,做题时仍有这样或那样一些错误.
2.n个数成等比数列,如何用最少的字母、最简洁的形式表示出这n个数,容易出现错误.表达形式并导致错误结果.
3.求等比中项或开偶次方求公比q时,往往会丢掉负根.
4.对于可以转化为等比数列的某些数列,由于不熟悉,看不出项与项之间的内在联系,导致求通项an时出现困难.
学习策略】.学习导引。
1.阅读课本p124~126.
2.本节课主要学习以下三个方面的问题:
1)等比数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比.公比通常用字母q表示(q≠0).
2)等比数列的通项公式:根据等比数列的定义=q(n≥2,且n∈n*),归纳出通项公式为an=a1qn-1(n∈n*)
3)等比中项定义:如果在a与b中间插入一个数g,使a,g,b成等比数列,那么g叫做a与b的等比中项.
g是a与b的等比中项g2=abg=±.
.知识拓宽。
1.等比数列的判定方法:
1)=q(q是不为0的常数,n∈n*)是等比数列.
2)an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈n*)是等比数列.
3)an+12=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈n*)是等比数列.
2.根据等比数列的定义,立即可以得到下面的四个结论:
1)a1≠0,q≠0对n∈n*,an≠0;
2)递增;递减.
3)q=1是常数数列.
4)q<0是摆动数列.
3.由于等比数列的通项公式an=a1qn-1可以整理为an=()qn,因此,等比数列,即中的各项所表示的点(n,kqn)离散地分布在第一象限或第四象限,其中k=,并且这些点都在函数y=k·qx(x∈r)的图象上.
4.通项公式的推广:如果是公比为q的等比数列,那么an=am·qn-m(怎样证明?)
.障碍分析。
1.怎样理解等比数列的概念?
对等比数列概念的理解要注意:
1)由定义不难得到等比数列的递推形式为=q(常数).也就是说,等比数列每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不能是0.
2)“从第二项起”是因为首项没有“前一项”.
3)均为同一常数,体现了比的意义,同时还要注意公比是每一项与前一项之比,防止前后次序颠倒.
4)递推形式an+1=anq与=q并不等价,等比数列要求an≠0且q≠0.
5)常数列都是等差数列,但不都是等比数列.因为各项都是0的数列是等差数列而不是等比数列.等差数列与等比数列的异同点如下表:
2.怎样在正数a,b之间插入n个数,使它们和原来的两个数成等比数列?
在正数a,b之间插入n个数而形成的等比数列中,首项是a,第n+2项是b,代入等比数列的通项公式,有b=aqn+1.
当n为偶数时,q=,此时,所插的n个数为a,a,…,a.
当n为奇数时,q=±,此时,所插的n个数除了上述一组解外,还可以为。
a,…,3.怎样判断一数列是不是等比数列?
例1]数列的前n项之和sn=an+b(a,b为常数且a≠0,1),问数列是等比数列吗?若是,写出通项公式;若不是,说明理由.
思路:利用等比数列的定**题.
解:a1=s1=a+b,当n≥2时,an=sn-sn-1=(a-1)an-1,又a1=(a-1)a0=a-1,因此,若a-1≠a+b,即b≠-1时,显然数列不是等比数列;
若a-1=a+b,即b=-1时,由an=(a-1)an-1(n≥1),得=a(n≥2),故数列是等比数列.
误区点评:对本题容易出现以下误解:
当n≥2时,an=sn-sn-1=(a-1)an-1,又a≠0,1,故an≠0,=a,即数列为等比数列.
上述误解显然忽视了对n=1时的讨论.
4.怎样用对称设项法求解等比数列问题?
例2]在四个正数中,前三个成等差数列,和为48,后三个成等比数列,积为8000.求此四数.
思路:用等差及等比的条件,设出四个数.
解:设前三数为a-d,a,a+d,则有(a-d)+a+(a+d)=48,a=16.
再设后三数为、b、bq,则有·b·bq=b3=8000,b=20.
四数为m,16,20,n.
m=32-20=12,n==25.
即四数为12,16,20,25.
点评:(1)已知三个数成等比数列,且已知三数之积时,一般设此三数为,a,aq,其中q为公比.这样立即就可求出a的值,从而减少解题的计算量.但若已知四个数成等比数列及这四个数的积时,一般不设为,,aq,aq3,因为这种设法使得四个数的公比为q2.漏掉公比为负数的情形,造成漏解.
2)由等比数列的通项公式可得qm-n=,若m>n,则q是的(m-n)次方根.在实数范围内,当m-n为奇数时,q=;当m-n为偶数时,q=±(q的符号,可以按照所求等比数列的其他条件决定).
5.如何将某些一般数列问题转化为等比数列问题?
例3]求数列的通项公式:
1)中,a1=2,an+1=3an+2;
2)中,a1=2,a2=5,且an+2-3an+1+2an=0.
思路:转化为等比数列.
解:(1)an+1=3an+2an+1+1=3(an+1)
所以是等比数列,∴an+1=3·3n-1,∴an=3n-1
2)an+2-3an+1+2an=0an+2-an+1=2(an+1-an),是等比数列,即an+1-an=(a2-a1)·2n-1=3·2n-1
再注意到a2-a1=3,a3-a2=3·21,a4-a3=3·22,…,an-an-1=3·2n-2,利用迭加法,即可得到an=3·2n-1-1.
点评:等比数列与等差数列一样,都是常见的基本数列.在处理一些较复杂的数列时,常设法转化为等差或等比数列.本例解题的关键是发现一个等比数列,化生疏为已知.(1)中发现是等比数列.(2)中发现是等比数列.
一般地,有形如an=pan-1+q递推关系的数列,可以转化为等比数列.用待定系数法设它可以写成an-λ=p(an-1-λ)即an=pan-1+λ-pλ,比较系数,得q=λ-pλ,λ则数列是等比数列.
.思维拓展。
例4]已知0(1)写出第一次混合后溶液的浓度a1%.
2)设第n次混合后,浓度为an%,试用an表示an-1.
3)写出an的通项公式.
4)为使溶液的浓度不低于q%,问至少要混合多少次?
思路:计算每次混合后的浓度.
解:∵p-r=2(p-q),∴2q=p+r.
1)a1%=
2)an+1%=(p+4an)%
3)从上面的结论可知an+1=an+p.
an+1-p=(an-p)
数列是以(r-p)为首项,为公比的等比数列.
an-p=(r-p)()n-1=(r-p)()n,an=p-(p-r)()n.
4)由p-(p-r)()n≥q=,得(p-r)()n≤(p-r)
()n≥2.∴n≥≈3.1,∴n取4.
即至少要混合4次才能使溶液浓度不低于q%.
点评:应用等比数列概念解实际应用题,有时要构造出等比数列.本题构造出等比数列是关键的一步,这需要有一定的观察能力和变形能力.对于解应用问题,要仔细审题,弄清实际问题中所涉及的数学量之间的关系,建立起数学模型,再应用相关数学知识去解决.
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