时间：45分钟分值：100分。
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2012·安徽)公比为2的等比数列的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝(
a．4 b．5
c．6 d．7
解析：由题意可得，a3a11＝a＝16，∴a7＝4.
a10＝a7·q3＝25.∴log2a10＝log225＝5.
答案：b2．已知公比的绝对值不为1的等比数列中，a9a7＝a，a3a11＝aman，则等于( )
a. b.
c．2 d.
解析：已知公比的绝对值不为1，由等比数列的等比中项的性质得2m＝16，∴m＝8，则a3a11＝a8an，所以n＝6，所以＝.故选a.
答案：a3．已知是由正数组成的等比数列，sn表示的前n项的和，若a1＝3，a2a4＝144，则s5的值是( )
a. b．69
c．93 d．189
解析：由a2a4＝a＝144得a3＝12(a3＝－12舍去)，又a1＝3，各项均为正数，则q＝2.
所以s5＝＝＝93.
答案：c4．数列中，已知对任意n∈n*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于( )
a．(3n－1)2 b. (9n－1)
c．9n－1 d. (3n－1)
解析：因为a1＋a2＋…＋an＝3n－1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1(n≥2)．
则n≥2时，an＝2·3n－1.
当n＝1时，a1＝3－1＝2，适合上式，所以an＝2·3n－1(n∈n*)．
则数列是首项为4，公比为9的等比数列．
a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)．
故选b.答案：b
5．(2013·山东日照质量检测)已知公差不为0的等差数列满足a1，a3，a4成等比数列，sn为数列的前n项和，则的值为( )
a．2 b．3
c. d.
解析：由题意知：a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，因为d≠0，所以a1＝－4d.
则＝＝＝2.故选a.
答案：a6．(2012·湖北卷)定义在(－∞0)∪(0，＋∞上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞0)∪(0，＋∞上的如下函数：
f(x)＝x2；②f(x)＝2x；
f(x)＝；f(x)＝ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )
a．①②b．③④
c．①③d．②④
解析：验证①＝＝q2，＝＝为“保等比数列函数”，故选c.
答案：c二、填空题(每小题5分，共15分)
7．在等比数列中，若公比q>1，且a2a8＝6，a4＋a6＝5，则。
解析：∵a2a8＝6，∴a4a6＝6，又∵a4＋a6＝5，且q>1，∴a4＝2，a6＝3，＝＝
答案：8．(2012·浙江)设公比为q(q>0)的等比数列的前n项和为sn，若s2＝3a2＋2，s4＝3a4＋2，则q
解析：由已知s4－s2＝3a4－3a2，即a4＋a3＝3a4－3a2，即2a4－a3－3a2＝0，两边同除以a2得，2q2－q－3＝0，即q＝或q＝－1(舍)．
答案：9．已知各项都为正数的等比数列中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为。
解析：因为a2·a4＝4＝a，且a3>0，所以a3＝2，又a1＋a2＋a3＝＋＋2＝14，所以＝－3(舍)或＝2，即q＝，a1＝8.
又an＝a1qn－1＝8·()n－1＝()n－4，所以an·an＋1·an＋2＝()3n－9>，即23n－9<9，3n－9而3＋log2>3＋log2＝4，n的最大值为4.
答案：4三、解答题(共55分)
10．(15分)设是公比大于1的等比数列，sn为数列的前n项和．已知s3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
1)求数列的通项公式；
2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列的前n项和tn.
解：(1)设数列的公比为q(q>1)，由已知，得。即。解得。
故数列的通项为an＝2n－1.
2)由(1)得a3n＋1＝23n，bn＝lna3n＋1＝ln23n＝3nln2，又bn＋1－bn＝3ln2，是以b1＝3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列．
tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＝，即tn＝ln2.
11．(20分)已知数列中，a1＝，点(n,2an＋1－an)在直线y＝x上，其中n＝1,2,3，….
1)令bn＝an＋1－an－1，求证数列是等比数列；
2)求数列的通项．
解：(1)由已知得2an＋1＝an＋n，又a1＝，a2＝，b1＝a2－a1－1＝－－1＝－，又∵bn＝an＋1－an－1，bn＋1＝an＋2－an＋1－1，＝＝
是以－为首项，以为公比的等比数列．
2)由(1)知，bn＝－×n－1＝－×an＋1－an－1＝－×a2－a1－1＝－×a3－a2－1＝－×an－an－1－1＝－×将以上各式相加得：
an－a1－(n－1
an＝a1＋n－1－×
＋(n－1)－(1－)＝n－2.
an＝＋n－2.
12．(20分)(2013·江苏南通质检)已知数列成等比数列，且an>0.
1)若a2－a1＝8，a3＝m.
当m＝48时，求数列的通项公式；
若数列是唯一的，求m的值；
2)若a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，k∈n*，求a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值．
解：设公比为q，则由题意，得q>0.
1)①由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得。
解之，得或。
所以数列的通项公式为。
an＝8(2－)(3＋)n－1，或an＝8(2＋)(3－)n－1.
要使满足条件的数列是唯一的，即关于a1与q的方程组有唯一正数解，即方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．
由δ＝m2－32m＝0，a3＝m>0，所以m＝32，此时q＝2.
经检验，当m＝32时，数列唯一，其通项公式是an＝2n＋2.
2)由a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝8，且q>1.
a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝＝8(qk－1＋＋2)≥32，当且仅当qk－1＝，即q＝，a1＝8(－1)时，a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值为32.
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