类型一计数原理的应用。
典例1】有不同的红球8个，不同的白球7个。
1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？
2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？
解析】(1)由分类加法计数原理知从中任取一个球共有8+7=15(种)不同取法。
2)由分步乘法计数原理知从中任取两个不同颜色的球共有8×7=56(种)不同取法。
方法技巧】使用两个原理解决问题时应注意的问题。
1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出**，使问题更加直观、清晰。
2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步。
变式训练】有4部机床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有( )
a.34种b.43种c.3×4种d.44种。
解析】选b.事件为“加工3个零件”,每个零件都加工完这件事就算完成，应以“每个零件”为分步标准，共3步，而每个零件能在四部机床中的任一台上加工，所以有4种方法，于是安排方法有4×4×4=43.
补偿训练】在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表。
示一个信息，不同排列表示不同信息。若所用数字只有0和1,则与信息0110至。
多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 (
a.10 b.11 c.12 d.15
解析】选b.方法一：分0个相同、1个相同、2个相同讨论。
1)若0个相同，则信息为：1001.共1个。
2)若1个相同，则信息为：0001,1101,1011,1000.共4个。
3)若2个相同，又分为以下情况：
若位置一与二相同，则信息为：0101;
若位置一与三相同，则信息为：0011;
若位置一与四相同，则信息为：0000;
若位置二与三相同，则信息为：1111;
若位置二与四相同，则信息为：1100;
若位置三与四相同，则信息为：1010.共有6个。
故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1+4+6=11.
方法二：若0个相同，共有1个；
若1个相同，共有=4(个);若2个相同，共有=6(个).
故共有1+4+6=11(个).
类型二排列与组合的综合应用。
典例2】(2018·沈阳高二检测)已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出4件次品为止。
1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
解析】(1)先排前4次测试，只能取**，有种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有·=种测法，再排余下4件的测试位置有种测法。所以共有不同测法··=103680种。
2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次**现，从而前4次有一件**出现。所以共有不同测试方法·(·576种。
方法技巧】排列、组合应用题的解题策略。
1)在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”,接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么。
2)区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关。若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题。也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关。
变式训练】(2018·双鸭山高二检测)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序a只能出现在第一步或最后一步，程序b和c实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 (
a.24种 b.48种 c.96种 d.144种。
解析】选c.因为由题意知程序a只能出现在第一步或最后一步，所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置把a排列，有=2种结果，因为程序b和c实施时必须相邻，所以把b和c看作一个元素，同除a外的3个元素排列，注意b和c之间还有一个排列，共有=48种结果，根据分步乘法计数原理知共有2×48=96种结果。
补偿训练】从7名男生和5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法数。
a,b必须被选出；
至少有2名女生被选出；
让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任。
解析】①除a,b选出外，从其他10人中再选3人，共有选法数为=120(种);
按女生的选取情况分类：选2名女生3名男生；选3名女生2名男生；选4名女生1名男生；选5名女生。所有选法数为+++596(种);
选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，剩下的在10人中任选3人担任其他3个职务。由分步乘法计数原理可得到所有选法数为··=25200(种).
类型三二项式典例的应用。
典例3】(1+)6展开式中的常数项为 (
a.1 b.46 c.4245 d.4246
解析】选d.因为(1+)6展开式通项tr+1=·(r=·,r=0,1,…,6,又因为的展开式的通项。
tk+1==,k=0,1,2,3,…,10,两通项相乘得：=,令-=0,得4r=3k,这样一来(r,k)只有三组：(0,0),(3,4),(6,8)满足要求。
故常数项为1++=4246.
方法技巧】二项式定理的问题类型及解答策略。
1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素。
2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项。
3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数。
4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入。
5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质。
变式训练】若展开式中第。
二、三、四项的二项式系数成等差数列。
1)求n的值及展开式中二项式系数最大的项。
2)此展开式中是否有常数项，为什么？
解析】(1)由展开式中第。
二、三、四项的二项式系数成等差数列，得2=+,解之得n=7,由于n=7为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是t4=()4=35,t5=()3=35.
2)此展开式中无常数项。理由：由tr+1=()7-r
(0≤r≤7),令=0,得r=(舍去),所以无常数项。
补偿训练】在的展开式中：
1)求系数绝对值最大的项。
2)求二项式系数最大的项。
3)求系数最大的项和系数最小的项。
解析】tr+1=·(8-r(-)r=(-1)r2r.
1)设第r+1项系数的绝对值最大。
则所以。即5≤r≤6,故系数绝对值最大的项是第6项和第7项。
2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项。
所以t5=·24·=1120x-6.
3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正。
则系数最大的项为：t7=(-1)6·26·x-11=1792x-11.
系数最小的项为t6=(-1)5·25·=-1792.
类型四二项式定理中的赋值问题。
典例4】(1)1+(1+x)+(1+x)2+…+1+x)n的展开式的各项系数之和为 (
a.2n-1 b.2n-1c.2n+1-1 d.2n
2)已知(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11,那么a1+a2+a3+…+a11
解析】(1)选c.方法一：令x=1得，1+2+22+…+2n==2n+1-1.
方法二：令n=1,知各项系数和为3,排除a,b,d,选c.
2)令x=0,得a0=1;
令x=1,得a0+a1+a2+…+a11=-64;
所以a1+a2+…+a11=-65.
答案：-65
方法技巧】二项式定理中赋值法的应用。
1)解决的问题：与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和。
2)应用技巧：通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果。
提醒：求各项系数的绝对值的和时，要先根据绝对值里面数的符号赋值求解。
变式训练】(2018·石家庄高二检测)已知f(x)=(2x-3)n展开式的二项式系数和为512,且(2x-3)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n.
1)求a2的值。
2)求a1+a2+a3+…+an的值。
解析】(1)由二项式的系数和为512知2n=512,所以n=9.
2x-3)9=[2(x-1)-1]9,所以a2=22(-1)7=-144.
2)令x=1,得a0=(2×1-3)9=-1,令x=2,得a0+a1+a2+a3+…+a9=(2×2-3)9=1.
所以a1+a2+a3+…+a9=(a0+a1+a2+…+a9)-a0=2.
补偿训练】若(3x2-2x+1)5=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0(x∈c).
求(1)(a0+a2+a4+a6+a8+)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2.
2)-a2+a4-a6+a8-a10.
解析】(1)令x=1,得a0+a1+…+a10=25;
令x=-1,得。
a0+a2+a4+a6+a8+a10)-(a1+a3+a5+a7+a9)=65,两式相乘，得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=25×65=125.
2)令x=i,得-a10+a9·i+a8-a7·i-a6+a5·i+a4-a3·i-a2+a1·i+a0=(-2-2i)5=-25(1+i)5
-25[(1+i)2]2(1+i)=128+128i.
整理得，(-a10+a8-a6+a4-a2+a0)+(a9-a7+a5-a3+a1)·i=128+128i,故-a10+a8-a6+a4-a2+a0=128.
因为由题意得a0=1,所以-a10+a8-a6+a4-a2=127.
备战2019力学专项突破 第一课
初中物理包含力学 电学 热学 光学 声学五大部分，回顾2012年中考，力学在各中考试题中所占分值 22分 29分，命题形式广泛，涵盖所有题型。力学在初中物理这门课程中的重要地位是显而易见的！广义的力学涵盖测量的初步知识 机械运动 质量和密度 力 力和运动 压强 浮力 简单机械和功 机械能九个部分。那...
专题第六第一课
人民版 历史选修一教学设计。设计 高二历史备课组主备人 张景悦 专题六默罕默德。阿里改革。一亟待拯救的文明古国。一 教学内容及其解析。1 内容 了解穆罕默德 阿里改革的历史背景。2 解析 第一框 资本主义文明的冲击，本目主要讲述三个问题，一是工业革命后资本主义世界生产力获得的巨大进步 二是靠武力建立...
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专题一有机化学基础。学习目标。1 了解有机化学的发展简史，并能够正确判断何为有机物。2 知道如何确定有机物的最简式。3 了解有机物中元素的测定方法。教学重点。1 理解有机物的定义。2 能正确判断哪些物质为有机物 有机物化学式的确定及元素定量的计算。教学难点。有机物化学式的确定。教学过程。一 请学生阅...