实际问题与二次函数第一课时导学案

26.3实际问题与二次函数(1)第1课时。

学习目标：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数求出实际问题中的最大（小）值，发展学生解决问题的能力。

学习重点：让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决经济中最大（小）值问题。

学习难点：如何分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的。

学习方法：经历探索商品销售中最大利润问题的过程，增强数学应用能力。

一、知识回顾：函数y=6(x-2)2中，x=__时，y的最小值是

二、合作交流，解读**。

问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映；如调整**，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

议一议]涨价与降价有可能获得最大利润吗？需要分类讨论吗？

1、在涨价的情况下，最大利润是多少？

想一想：若每件涨价x元，由此商品。

1 每件的利润为元。

每星期的销售量为件。

所获利润是元。

若设所获得利润为y元，则y与x的函数关系为：

自变量x的取什范围是。

如何求最大值？（能否利用二次函数的图像求最大值？）

2、在降价的情况下，最大利润又是多少呢？

我们用类似的方法进行分析。

设每件降价a元，所获利润为b元，则b与a的函数关系为：

归纳】利用二次函数求最大利润问题时，需注意一下几点：

1 分类讨论。（涨价与降价）

2 分清每件的利润与每周的销售量，理清**与它们之间的关系。

3 自变量的取什范围的确定。保证实际问题有意义。

4 一般是利用二次函数的顶点坐标求最大值，但有时顶点坐标不在取值范围内，注意画图像分析。

三、应用迁移，巩固提高。

例1、利达经销店为某工厂供销一个建筑材料（这里的供销是指厂家先免费提供人货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责独处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行**。

经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。

综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元。设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）。

1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大？你认为对吗？请说明理由。

归纳】分清最大利润与最大销售额的区别。

四、课时检测。

1、用配方法将二次函数y=3x2-4x-2写成形如y=a(x+m)2+n的形式，则mn

2、二次函数y=2x2-8x+1的图象顶点坐标是（2，-7），x时，y的值最小为

3、右图为某二次函数y=ax2+bx+c(2≤x≤7)的完整图像，根据图像回答。

x= 时，y的最大值是

x= 时，y的最小值是

五、总结反思

总结]本节课所学的知识是如何利用二次函数最大（小）值来解决实际问题。所学的思想方法是建立函数关系，用函数的观点、思想去分析实际问题。

反思]①解决实际问题需注意什么？②利用二次函数还可以解决哪些实际问题，请大家注意收集、分类，看它们各自有何特点。

六、布置作业课本26页第题。

七、教学反思。

26.3实际问题与二次函数(2)第2课时。

一、学习目标：能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案。

二、学习重点：几何关系的分析，体会二次函数这一模型的意义。

三、学习难点：如何建二次函数模型，利用它解决实际问题。

四、学习方法指导：通过探索“计算机中的二次函数问题”过程，体会“建立二次函数模型”是解决实际问题中的最优化问题的数学模型，并获得解决问题的经验。

五、合作交流，解读**：

小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环。

境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃。

的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为l米的通道及在左。

右花圃各放一个l米宽的门(如图26—3—6所示)．花圃的宽ad究竟应为多少米才能使。

花圃的面积最大？

1）设ad=x则ab

2）花圃的面积s与x的函数关系式为：

（3）因为ab≤10所以10，所以 x

（4） s对称轴开口．

当x时s随x的增大而减小．是减函数．

当x米时。s取最大值米。．

注意】此题要结合函数图象求解，顶点不在取在范围内．

六、应用迁移，巩固提高。

1、几何图形的分割与二次函数例2 如图26—3—7．从一张矩形纸较短的边上找一点e，过e点剪下两个正方形，它们的边长分别是ae，de．要使剪下的两个正方形的面积和最小，点e应选在何处？为什么？

【解析】将de的长设为x，两正方形的面积和为y。寻找出y与x间的函数关系．再求解．

解：不妨设矩形纸较短边长为a，设de=x，刖ae

归纳】此题关键是充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解。

2、有一长为7．2米的木料，做成如图26—3—8所示的”日”字形的窗框，窗的高和宽各取多少米时，这个窗的面积最大(不考虑木料加工时的损耗和木框本身所占的面积)?

3、-块三角形废料如26—3—9所示，∠a=300，∠c=900， ab=12，用这块废料剪出一个长方形cdef，其中点d、e、f分别在ac、ab、ac上，要使剪出的长方形cdef面积最大。点e应选在何处？

七、总结反思。

总结】本节课所学的知识是通过对计算机的磁盘等不同实例的**，再次利用二次。

函数解决实际问题．

本节课所用的思想方法是建立函数关系，利用函数的图象与性质进行解题，即用函。

数的思想与方法．

反思】几何问题用函数的思想方法来解决，需注意什么？

①白变量的取值范围，保证几何图形有实际意义．②充分利用几何关系，构造出函数。

关系．八、布置作业课本26页第题。

九、教学反思。

26.3实际问题与二次函数(3)第3课时。

一、学习目标：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题。

二、学习重点：通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一。

重要模型．三、学习难点：利用二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便．

四、学习方法指导：经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验．

五、知识回顾：

1、函数y=ax2(a≠0)的图象是一条___它的顶点坐标是___对称轴是___当a___0时，开口向上，当a___o时，开口向下．

2、抛物线y=的顶点坐标是___对称轴是___开口向___抛物线y=-3x2的顶点坐标是___对称轴是___开口向___

六、合作交流，解读**：

小乔家门前有一座抛物线形拱桥如图26-3-10．当水面在l时，拱顶离。

水面2 m，水面宽4m水面下降1 m时，水面宽度增加多少？

想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表。

示的二次函数．从而求出水面下降1 m时，水面宽度增加多少(如图26-3-11所示)?

由上图可设这条抛物线表示的二次函数为。

解决问题：当水面下降1 m时，水面的纵坐标为多少？怎么求横坐标？完成此题。

归纳】(1)用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系．

2)抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便。

七、应用迁移，巩固提高。

1、有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．

1)如图26-3-12所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式：

2)在正常水位的基础上，当水位上升h（米)时，桥下水面的宽度为d(米)，求出将d表示为h的函数解析式；

3)设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米。求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行． ‘

归纳】求抛物线的解析式y=ax2，关键是求a的值，抛物线经过点b(10，-4)．代人y=ax2中。

可求a的值．

2 抛物线又经过点d(x，-4+h)，代人y=ax2中可求出x值．从而求出d表示为h的函数解析式．

2、已知二次函数图象经过点(2，-3)．对称轴为x=l，抛物线与x轴两交点距离为4．则这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3

3、某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图26-3-15所示，则厂门的高为（水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1米。

a、6.9米 b、7.0米 c、7.1米 d、6.8米。

八、总结反思。

总结】本节探索了“抛物线”形拱桥水面宽、高等问题，了解到实际问题可借用函数思想方法来解决，学会“转化”思想．

反思】用函数的思想方法解决抛物线型拱桥问题应注意什么？

(1)建立恰当的平面直角坐标系．注意体会．

(2)善于根据已知条件看抛物线上某些特殊点的坐标，求出解析式。

九、教学反思。

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二次函数与实际问题第一课时利润问题

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