2011学年嘉定区高三年级第三次模拟考试。
数学试卷（文科）
2024年5月14日)
考生注意：本试卷共23题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．设集合，，则。
2．设、，为虚数单位，若，则复数的模为___
3．函数的最小正周期为。
4．函数（）的反函数。
5．系数矩阵为，解为的一个线性方程组是。
6．已知向量，，若，则实数的值为。
7．若一个圆锥的主视图是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积是。
8．若，，成等比数列，则函数的图像与轴交点的个数为___
9．设则不等式的解集为。
10．执行如下图所示的程序框图，那么输出的值为。
11．已知动圆圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点。
12．从名男生和名女生中选出人参加交通安全志愿者活动，则选出的人中既有男生又有女生的概率是。
13．实数、满足如果目标函数的最小值为，则实数的值为。
14．已知函数，点为函数图像上横坐标为（）的点，为坐标原点，向量．记为向量与的夹角，则。
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为a、b、c、d的四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．
15．“”是“”的。
a．充分非必要条件b．必要非充分条件。
c．充分必要条件d．既非充分又非必要条件。
16．下列命题中正确的是。
a．若，则b．若，则。
c．若，则d．若，则。
17．如图，四棱锥的底面是的菱形，且，，则该四棱锥的主视图（主视图投影平面与平面平行）可能是。
abcd．18．若对于任意实数，关于的方程恒有解，则实数的取值范围是。
a． bcd．
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
如图，在正三棱柱中，，．
1）求三棱柱的表面积；
2）设为棱的中点，求异面直线与所成角的。
大小（结果用反三角函数值表示）．解：（1）
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点．过坐标原点的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限．过点作轴的垂线，垂足为．设直线的斜率为．
1）若直线平分线段，求的值；
2）当时，求点到直线的距离．解：（1）
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，角的始边落在轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点、（）为等边三角形．
1）若点的坐标为，求的值；
2）设，求函数的解析式和值域．解：（1）
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
设向量，（）函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足，．
1）求证：；
2）求数列的通项公式；
3）设，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．解：（1）
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．
已知函数（），其中、为实常数．
1）若方程有且仅有一个实数解，求、的值；
2）设，，写出的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；
3）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．解：（1）
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