北京市朝阳区高三年级第一次综合练习。
数学测试题答案（文史类）
一、选择题。
二、填空题。
三、解答题（共80分）
15.（满分13分）
解：（ⅰ因为，由正弦定理得5分。
ⅱ）因为，可知，.则。
则13分。16. （满分13分）
解：（ⅰm ={2, -1)，(2, 1)，(0, -1)，(0, 1)，(2, -1)，(2, 16分。
ⅱ）记“以(x，y)为坐标的点位于区域d内”为事件a.
集合m中共有6个元素，即基本事件总数为6，区域d含有集合m中的元素4个，所以。
故以(x，y)为坐标的点位于区域d内的概率为13分。
17. （满分13分）
解：（ⅰ因为，所以。
又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面。
而底面，所以。
在底面中，因为，所以， 所以。
又因为， 所以平面6分。
ⅱ）设侧棱的中点为，
连结，则，且。
由已知，所以。 又，所以。 且。
所以四边形为平行四边形，所以。
因为平面，平面，所以平面13分。
18. （满分13分）
解： （直线的斜率为1.
函数的导数为，则，所以5分。
当时，在区间上，此时在区间上单调递减，则在区间上的最小值为。
当，即时，在区间上，此时在区间上单调递减，则在区间上的最小值为。
当，即时，在区间上，此时在区间上单调递减；在区间上，此时在区间上单调递增；则在区间上的最小值为。
当，即时，在区间上，此时在区间上为单调递减，则在区间上的最小值为。
综上所述，当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为13分。
19. （满分14分）
解：（ⅰ由题意可设椭圆的方程为，半焦距为，因为、为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，所以，．
又因为，所以．
故椭圆的方程为，离心率为．……5分。
ⅱ）以为直径的圆与直线相切。 证明如下：
由题意可设直线的方程为，则点坐标为，中点的坐标为．
由得．设点的坐标为，则．
所以，．因为点坐标为，当时，点的坐标为，点的坐标为，直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．
当时，则直线的斜率。
所以直线的方程为．
点到直线的距离．
又因为所以．
故以为直径的圆与直线相切．
综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．……14分。
20. （满分14分）
解（ⅰ）由题意知，．
同理，，…成等差数列，所以，故。
即是公差是的等差数列．
所以5分。ⅱ）由（ⅰ）知．
数列分组如下：，，
按分组规律，第组中有个奇数，所以第1组到第组共有个奇数．
注意到前个奇数的和为，所以前个奇数的和为，即前组中所有数之和为，所以．
因为，所以，从而．所以。故。
所以10分。
ⅲ）由（ⅱ）得， .
故不等式就是．
考虑函数．当时，都有，即．
而，注意到当时，单调递增，故有。
因此当时，成立，即成立．
所以满足条件的所有正整数14分。
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