北京市朝阳区高三年级第一次综合练习。
数学测试题答案（理工类）
一、选择题：
二、填空题：
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
15．（本小题满分13分）
解：（ⅰ由已知可得。所以。
因为在中，所以6分。
ⅱ）因为，所以。
因为是锐角三角形，所以，.所以。
由正弦定理可得：，所以13分。
16．（本小题满分13分）
解法一：ⅰ）因为，所以。
又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面。
而底面，所以。
在底面中，因为，所以， 所以。
又因为， 所以平面4分。
ⅱ）在上存在中点，使得平面，
证明如下：设的中点是，
连结，则，且。
由已知，所以。 又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以。
因为平面，平面，所以平面8分。
ⅲ）设为中点，连结，则。
又因为平面平面，所以平面。
过作于，连结，由三垂线定理可知。
所以是二面角的平面角。
设，则，.在中，，所以。
所以，.即二面角的余弦值为13分。
解法二：因为，所以。
又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面。
又因为，所以，，两两垂直。
分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图。
设，则，，，
ⅰ）,所以，，所以， .
又因为， 所以平面4分。
ⅱ）设侧棱的中点是， 则，.
设平面的一个法向量是，则
因为，所以取，则。
所以， 所以。
因为平面，所以平面8分。
ⅲ）由已知，平面，所以为平面的一个法向量。
由（ⅱ）知，为平面的一个法向量。
设二面角的大小为，由图可知，为锐角，所以。
即二面角的余弦值为13分。
17．（本小题满分13分）
解：（ⅰx的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.
依条件可知x~b(6，).
x的分布列为：
所以=.或因为x~b(6，)，所以。 即x的数学期望为4． …5分。
（ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件a，则。
答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为10分。
ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件b，则。
即教师乙在这场比赛中获奖的概率为。
显然，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等13分。
18．（本小题满分13分）
解： (直线的斜率为1.
函数的定义域为，因为，所以，所以。
所以。由解得；由解得。
所以的单调增区间是，单调减区间是4分。
)，由解得；由解得。
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减。
所以当时，函数取得最小值，.
因为对于都有成立，所以即可。
则。 由解得。
所以的取值范围是8分。
)依题得，则。
由解得；由解得。
所以函数在区间为减函数，在区间为增函数。
又因为函数在区间上有两个零点，所以。
解得。所以的取值范围是13分。
19．（本小题满分14分）
解：（ⅰ由题意可设椭圆的方程为，．
由题意知解得，．
故椭圆的方程为，离心率为．……6分。
ⅱ）以为直径的圆与直线相切．
证明如下：由题意可设直线的方程为。
则点坐标为，中点的坐标为．
由得．设点的坐标为，则．
所以10分。
因为点坐标为，当时，点的坐标为，点的坐标为。
直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．
当时，则直线的斜率。
所以直线的方程为．
点到直线的距离．
又因为，所以．
故以为直径的圆与直线相切．
综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．……14分。
20．（本小题满分14分）
解：（ⅰ由题意知．
同理，，，又因为成等差数列，所以。
故，即是公差为的等差数列．
所以，．令，则，此时． …4分。
ⅱ）当时，．
数列分组如下：．
按分组规律，第组中有个奇数，所以第1组到第组共有个奇数．注意到前个奇数的和为，所以前个奇数的和为。
即前组中所有数之和为，所以．
因为，所以，从而．所以。故。
所以9分。ⅲ）由（ⅱ）得， .
故不等式就是．
考虑函数．当时，都有，即．
而，注意到当时，单调递增，故有。
因此当时，成立，即成立．
所以，满足条件的所有正整数14分。
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