北京市朝阳区高三年级第一次综合练习。
数学答案（理工类）
一、选择题。
二、填空题。
三、解答题。
15． （本小题满分13分）解：
显然，函数的最小正周期为8分。ⅱ）令得。
又因为，所以．
函数在上的单调减区间为13分。
16． （本小题满分13分）
解：（i）设事件：从位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．
由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有人．则．解得．
所以4分。ii）设事件：从人中任意抽取人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．
由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有人．
则7分。iii）的可能取值为，，．
位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为人．
所以，所以的分布列为。
所以13分。
17． （本小题满分14分）
ⅰ）证明：取的中点，连接，．
因为，分别是，的中点，所以是△的中位线．
所以∥，且．
又因为是的中点，且底面为正方形，所以，且∥．
所以∥，且．
所以四边形是平行四边形．
所以∥． 又平面，平面，所以平面4分。
ⅱ）证明： 因为平面平面，且平面平面，所以平面．
所以，．又因为为正方形，所以，所以两两垂直．
以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系（如图）．
由题意易知，设，则，．
因为，且，
所以，．又因为，相交于，所以平面9分。
ⅲ）易得，．
设平面的法向量为，则
所以即。令，则．
由（ⅱ）可知平面的法向量是，所以．
由图可知，二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值为14分。
18． （本小题满分13分）
解：函数的定义域是， ．
ⅰ）（1）当时，，故函数在上单调递减．
2）当时，恒成立，所以函数在上单调递减．
3）当时，令，又因为，解得．
当时，，所以函数在单调递减．
当时，，所以函数在单调递增．
综上所述，当时，函数的单调减区间是，当时，函数的单调减区间是，单调增区间为．……7分。
ⅱ）（1）当时，由（ⅰ）可知，在上单调递减，所以的最小值为，解得，舍去．
2）当时，由（ⅰ）可知，当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最小值为，解得．
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，解得，舍去．
当，即时，函数在上单调递减，所以函数的最小值为，得，舍去．
综上所述13分。
19． （本小题满分14分）
解：（ⅰ由题意得，解得，．
所以椭圆的方程是4分。
（ⅱ）以线段为直径的圆过轴上的定点．
由得．设，则有，．
又因为点是椭圆的右顶点，所以点．
由题意可知直线的方程为，故点．
直线的方程为，故点．
若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立．
又因为，所以恒成立．
又因为。所以．
解得．故以线段为直径的圆过轴上的定点14分。
20． （本小题满分13分）
解：（ⅰ符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个．
所以3分。ⅱ）设满足条件的一个等差数列首项为，公差为，．，的可能取值为．
对于给定的，， 当分别取时，可得递增等差数列。
个（如：时，，当分别取时，可得递增等差数列91个：；
；，其它同理）．
所以当取时，可得符合要求的等差数列的个数为：
8分。ⅲ）设等差数列首项为，公差为，记的整数部分是，则，即．
的可能取值为，对于给定的，，当分别取时，可得递增等差。
数列个．所以当取时，得符合要求的等差数列的个数。
易证．又因为，所以．
所以。即13分。
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习。
数学（理工类）选填解析。
一、 选择题。
1．【答案】b
解析】解：对应的点为。
所以对应的点在第二象限．
故选b．2．【答案】a
解析】解：，
所以．故选a
3．【答案】b
解析】解：因为，所以。
所以 又，所以
所以。所以．
故选b4．【答案】a
解析】解：阴影部分面积为；区域的面积为；
由几何概型知识，得概率为．
故选a．5．【答案】b
解析】解：若，，，由正弦定理得
又，则或．所以“”推不出“”；
另一方面，若，， 则，所以“”能推出“”
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选b6．【答案】d
解析】解：列表。
所以输出的为．
故答案为d．
7．【答案】c
解析】解：对于①，因为，所以为奇函数，图象关于原点对称，①正确；
对于②，因为是周期函数，不是周期函数，所以不是周期函数，故②不正确；
对于③，因为图象连续不断且定义域为，所以的最大值一定是的极值；而，，所以当时，函数不取极值，故③错；
对于④，由于与均关于原点对称，所以只需考虑部分，因为，故函数的图象与函数的图象没有公共点，④正确．
故答案选c8．【答案】d
解析】如图，设圆心到直线的距离，所以，如图，
又，则，解得．
故答案选d．
二、 填空题。
9．【答案】
解析】解：设的公比为，因为，所以，即，所以（舍），所以，；
故答案为．10．【答案】
解析】解：由，得，，；
由，得；圆心到的距离的为．
所以线段长度的最小值为；
故答案为．11．【答案】
解析】由三视图知，几何体为地面为等腰直角三角形，高为的三棱锥；
所以体积；表面积．
故答案为。12．【答案】
解析】解：因为双曲线，所以焦点，准线为；
又焦点到其渐近线的距离是，所以，即．
离心率为 故答案为。
13．【答案】
解析】解：分步计数原理，．
故答案为．14．【答案】
解析】解：如图建立空间直角坐标系，设， 则，，
所以， 因为，，解得或．
故答案为．本试卷由重庆家教网上传！
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