北京市朝阳区高三年级第一次综合练习。
数学学科测试答案（文史类）
一、选择题。
二、填空题。
三、解答题。
15． 解：（ⅰ因为。
所以，．由，得，
所以的单调递增区间是8分。
ⅱ）因为。所以．
所以，当，即时，取得最小值；
当即时，取得最大值13分。
16． 解：（i）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有人．
设事件：从位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，则．
解得．所以5分。
ⅱ）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有位，分别记为。
其中和为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生．
从中任意抽取位，可表示为， ，共种可能．
设事件：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生．
事件包括，，，共种可能．
所以．所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为13分。
17． 解：（ⅰ依题意， 因为四棱柱中，底面，所以底面．
又底面，所以．
因为为菱形，所以．而，所以平面4分。
ⅱ）连接，交于点，连接．
依题意，∥，且，所以为矩形．
所以∥．又，所以=，所以为平行四边形，则∥．
又平面，平面，所以∥平面9分。
ⅲ）在内，满足的点的轨迹是线段，包括端点．
分析如下：连接，则．
由于∥，故欲使，只需，从而需．
又在中，，又为中点，所以．
故点一定**段上．
当时，取最小值．
在直角三角形中，所以14分。
18．解：（）则函数在处的切线的斜率为．又，所以函数在处的切线方程为，即4分。
当时，，在区间上单调递增；
当时，令，解得；令，解得．
综上所述，当时，函数的增区间是；
当时，函数的增区间是，减区间是9分。
ⅲ）依题意，函数没有零点，即无解．
由（ⅱ）知，当时，函数在区间上为增函数，区间上为减函数，由于，只需，解得．
所以实数的取值范围为13分。
19． 解：（ⅰ由题意得解得，．
所以椭圆的方程是4分。
ⅱ）由得．设，则有，所以线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为．
于是，线段的垂直平分线与轴的交点，又点，所以．
又．于是，．
因为，所以．
所以的取值范围为14分。
20． 解：记的，公差为，公比为，由，得。
ⅰ），当时，显然；
当时，由平均值不等式，当且仅当时取等号，而，所以即．
综上所述5分。
ⅱ）（因为，所以得。
所以或．因为，所以，．
令，即，所以是中的一项．
ⅱ）假设，则，，
当或，（）时，．
正整数的集合是13分。
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习。
数学学科测试答案（文史类）
一、 选择题。
1． 【答案】c
解析】解：因为，
所以。故选c
2． 【答案】c
解析】解：
故选c3． 【答案】d
解析】画出表示的区域，如图所示：
由，得，画出并平移，当过时，截距最小，即最大为．
故选d4． 【答案】d
解析】解：因为是“甲落地站稳”，则表示“甲落地没有站稳”；是“乙落地站稳”，则表示“乙落地没有站稳”
所以“至少有一位队员落地没有站稳”可以表示为．
5． 【答案】b
解析】解：列表法：
故答案选b6． 【答案】a
解析】解：因为，所以是奇函数，图象关于原点对称；故排除c．d；
又，排除b．
故选a．7． 【答案】c
解析】解：设与的夹角是，则
又和是平面内两个单位向量，则，；
则。所以，则．
故选c8． 【答案】b
解析】解：依题意，标出平面图形上的信息如图所示，画出折起后的几何体，设中点为，并连接如图所示，对于①，因为，所以；又平面平面，则面，；
若，，则面，则矛盾，故①错；
对于②，，故②错；
对于③，因为面，则，又， ，所以平面；故③正确；
对于④，由③知，平面，所以；又，，所以面；
又平面，所以平面平面．故④正确；
故答案选b二、 填空题。
9． 【答案】
解析】解：因为抛物线，则，即，所以准线方程为．
故答案为．10． 【答案】
解析】解：因为去掉一个最低分后平均分为90分，则这人的总分为．
因为去掉一个最高分后平均分为86分，则这人的总分为；
所以最高分比最低分高．
故答案为．11． 【答案】，
解析】解：由余弦定理，得，解得；
由正弦定理，得，所以或（舍）
故答案为，．
12． 【答案】，
解析】解：由三视图画出几何体的直观图如图所示，则几何体是底面是直角三角形的直三棱柱横着放．
所以，故答案为，
13． 【答案】
解析】解：如图，圆心到直线距离为，则，解得．
故答案为．14． 【答案】二，
解析】解：因为每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上，所以只能在第二张卡片上（否则，若在第一张上，矛盾；若在第三张卡片上矛盾）
同理，只能在第三张卡片上（否则，若在第一张上，矛盾；若在第二张上，矛盾）；
同理，只能在第一张卡片上，只能在第二张卡片上，只能在第三张卡片上．如图所示．
故答案为：二，．内容由重庆家教网上传。
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