九年级2017届重庆中考数学拉分题。
24．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：
所以32和70都是“快乐数”．
1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；
2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ．
25．在中，以为斜边，作直角，使点落在内，．
1）如图1，若，，，点分别为、边的中点，连接，求线段的长；
2）如图2，若，把绕点逆时针旋转一定角度，得到，连接并延长交于点，求证：；
3）如图3，若，过点的直线交于点，交于点，，且，请直接写出线段之间的关系（不需要证明）．
26．已知如图1，抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴相交于点，点的坐标是（0，-1），连接、.
（1）求出直线的解析式；
（2）如图2，若在直线上方的抛物线上有一点，当的面积最大时，有一线段（点在点的左侧）在直线上移动，首尾顺次连接点、、、构成四边形，请求出四边形的周长最小时点的横坐标；
（3）如图3，将绕点逆时针旋转（），记旋转中的为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，当是等腰三角形时，求的值。
九年级25题练习。
1、已知正方形abcd，e为对角线bd上一点，过e点作ef丄bd交bc于f，连接df，g为df中点，连接eg，cg．
1）直接写出线段eg与cg的数量关系；
2）将图①中的△bef绕b点逆时针旋转45°，如图②，取df的中点g，连接eg，cg．你在（1） 中得到印结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
3）将图①中的△bef绕b点旋转任意角度，如图③，再连接相应的线段，则（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）
2、(1)如图1，在△abc中，ba＝bc，d，e是ac边上的两点，且满足∠dbe＝∠abc(0°＜∠cbe＜∠abc)，以点b为旋转中心，将△bec按逆时针旋转，得到△be′a(点c与点a重合，点e到点e′处)连接de′.
求证：de′＝de.
2 )如图2，在△abc中，ba＝bc，∠abc＝90°，d，e是ac边上的两点，且满足∠dbe＝∠abc(0°＜∠cbe＜∠45°)．
求证：de2＝ad2＋ec2.
答案。1）证明：∵四边形abcd是正方形，∠dcf=90°，在rt△fcd中，∵g为df的中点，∴cg=
fd，同理，在rt△def中，eg=
fd，∴cg=eg．
2）解：（1）中结论仍然成立，即eg=cg．
证法一：连接ag，过g点作mn⊥ad于m，与ef的延长线交于n点．
在△dag与△dcg中，∵ad=cd，∠adg=∠cdg，dg=dg，∴△dag≌△dcg（sas），ag=cg；在△dmg与△fng中，∵∠dgm=∠fgn，fg=dg，∠mdg=∠nfg，△dmg≌△fng（asa），∴mg=ng；∵∠eam=∠aen=∠amn=90°，四边形aenm是矩形，在矩形aenm中，am=en，在△amg与△eng中，am=en，∠amg=∠eng，mg=ng，△amg≌△eng（sas），ag=eg，∴eg=cg．
证法二：延长cg至m，使mg=cg，连接mf，me，ec，在△dcg与△fmg中，fg=dg，∠mgf=∠cgd，mg=cg，∴△dcg≌△fmg．∴mf=cd，∠fmg=∠dcg，mf∥cd∥ab，∴ef⊥mf．在rt△mfe与rt△cbe中，∵mf=cb，∠mfe=∠ebc，ef=be，△mfe≌△cbe∴∠mef=∠ceb．∴∠mec=∠mef+∠fec=∠ceb+∠cef=90°，△mec为直角三角形．∵mg=cg，∴eg=
mc，∴eg=cg．
3）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下：
过f作cd的平行线并延长cg交于m点，连接em、ec，过f作fn垂直于ab于n．
由于g为fd中点，易证△cdg≌△mfg，得到cd=fm，又因为be=ef，易证∠efm=∠ebc，则△efm≌△ebc，∠fem=∠bec，em=ec
∠fec+∠bec=90°，∴fec+∠fem=90°，即∠mec=90°，△mec是等腰直角三角形，g为cm中点，eg=cg，eg⊥cg．
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