2.4 指数函数（第一课时）
一、设计思想。
数学课程标准》强调：“要遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生的生活经验出发，创设有助于学生自主学习的情境，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，促使学生在教师的指导下生动活活泼地、主动地、有个性的学习”。
本节课采用自主**教学法。教学情景的设置，让学生体验到指数函数的价值，激发他们的学习兴趣和学习热情。通过自主作图，学生经历“直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括”，形成对指数函数图像的感觉和体验，并用自己的语言描述出指数函数图象特征。
在实际操作中，大家互相学习，彼此启发，最后用准确的数学语言表达出指数函数的性质。这样既培养了学生的情感意志，又切实提高了能力，同时充分体现现代教育理念，创设一个宽松民主的学习氛围，真正培养具有创新思维和创新能力的创造型人才。
二、教学内容分析。
指数函数是在学生学习完函数的概念、函数的单调性以及将指数范围扩充到实数后，较为系统地研究的第一个基本初等函数。它既是函数概念及性质的一次应用，也是今后学习对数函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。
指数函数的概念从实际问题引入的，这样既说明指数函数的概念**于客观实际，也便于学生接受和培养学生应用数学的意识。
函数图像是研究函数性质的直观图形。本节课运用了多**教学，加大了师生，生生间信息交流，在平等的对话和共同参与的教学活动中，学生发现问题、自主**并最终解决问题，这样便于学生记忆其性质和研究变化规律，建立起学好函数、学好数学的自信心。
三、教学目标分析。
1、知识与技能。
（1）通过实验了解指数函数的现实背景；
（2）通过抽象概括理解指数函数的概念及意义；
（3）借助信息技术作出指数函数图像，能根据图像探索和掌握指数函数的性质。
2、过程与方法。
（1）经历指数函数概念的形成过程，感受数学发展的根本动力源；
2）体会具体到一般、数形结合和分类讨论等数学思想方法；
3）以形示数，在探索中重新发现指数函数的性质。
3、情感、态度、价值观。
（1）创设情景，激发学习数学的兴趣；
2）合作**，提高探索数学的欲望；
3）实践操作，增强应用数学的意识。
4、教学重、难点。
教学重点：指数函数的概念和性质及其应用。
教学难点：底数a对于函数图像和性质的影响。
四、教学准备。
多**网络教室上课。“学习包” 内有学习指南和部分学习素材。合作学习四人一组。
五、教学过程设计。
一）问题研究。
1、折纸实验。
指导学生折纸实验：将一张白纸(厚度为0.1mm)对折，再对折，……计算折后纸的厚度。
如果对折30次，试猜想厚度是多少？与教学楼高、珠穆朗玛峰高相比如何？试将折纸的次数与折后纸的层数统计如下表，并建立一个数学模型给予解释。
事实上，，比珠穆朗玛峰的高度还要高。感知模型：
2、现实原型。
**展示：某种细胞**时，由1个**成2个，2个**成4个…….请你写出1个这样的细胞**x次后，细胞个数y与x的关系式；
3、思维实验。
**展示：《庄子天下篇》：“一尺之棰，日取之半，万世不竭”。请你写出取x天后，木棰的剩留量y与x的关系式。
说明：通过实验，设置悬念，引发认知冲突，引起学生的好奇心和强烈的求知欲。
二）形成概念。
1、建立模型。
三个原型的本质属性是什么？你能否建立统一的模型？一般模型：，其中a是常数，x是自变量，y是x的函数。注意思考a、x的取值。
2、自主**。
小组合作**a、x的取值情况。
3、讨论交流。
当a＜0时，ax 对某些x值可能失去意义。（如a＝－1，时，在实数范围内无意义。
没有研究的价值；
当a=0时，当x＞0时，ax=0 ；当x≤0时， ax无意义。 —没有研究的意义；
当a=1时， ax =1（无论x 取何值没有研究的必要。
因此，为了避免上述情况，我们规定了且。
对于指数x，我们知道可以扩充到有理数，当然，也可以扩充到无理数，如也是一个确定的实数，所以指数函数的定义域为r.】
4、形成概念：
定义：一般地，函数叫做指数函数，指数x是自变量，底数a是常数，它的定义域是r.
三）**性质。
1、自主作图。
要求学生打开学习包中的文件“函数图象。xls”，按作图要求自主作图，教师巡视指导。每个学生都可在电脑上作出以下图形：
2、感受图形。
要求学生观察指数函数图像，谈谈自己对图象的感觉和体验，然后用语言描述图象特征。学生充分发言，教师适当提出观察角度。
3、发现结论。
在学生充分交流讨论的基础上，归纳总结，自主充实完善下表：
说明：利用计算机快速准确的数字处理和绘图功能，为学生创设一个实验数学的环境。学生在学习中扮演主动角色，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括，形成了对指数函数图象的感觉和体验，然后用语言描述图象特征并“翻译”成函数性质。
这样便于学生记忆其性质和研究变化规律，建立起学好函数、学好数学的自信心。
4、**指数函数中 a 的变化对函数图象的影响。
1）自主演示。
请打开学习包中课件“图象变化图象变化自己操作演示，观察分析底数的变化对函数图象的影响；
图象变化图象变化。
2）讨论交流。
合作**，交流讨论，小组汇报：
和图象关于y轴对称。一般地，和（且）的图象关于y轴对称。
当a>1时，a越大，图像在第一象限内曲线越靠近y轴；在第二象限内的曲线越靠近x轴。当0说明：学生利用教师事先准备的“学习包”中的素材进行实际操作，同学间相互协作，教师适当的点拨指导，学生像“研究者”一样置身于一项真正的“课题”之中，在学习中感受挑战，去发现和探索。
此时抽象的数学问题具体了，枯燥的数学问题有趣了，静止的数学问题动起来了，复杂的数学问题简单了，同时激发了每一个学生学习数学的兴趣。这样既培养了学生的情感意志，又切实提高了能力，同时充分体现现代教育理念，创设一个宽松民主的学习氛围，真正培养具有创新思维和创新能力的创造型人才。
四）应用举例。
例1 比较大小
分析：（1）观察两个数的特点，你想用什么方法比较这两个值的大小？能否用指数函数的性质解决？如何解决？
2）学生能通过构造指数函数，利用它的单调性，即把这两个数看作某个函数的函数值，比较大小；
3）详讲例1（1）；
4）解后反思：由学生总结解法：底相同，按“构造（指数模型）――判断（单调性）――给出）结论”进行。 并自解（2）。
解：(1)考虑指数函数
（2）考虑指数函数，例2 比较大小
分析：（1）观察数的特点，试着给出比较的方法。能否象例1那样利用指数函数性质解决？如何解决？
2）交流讨论，两个指数函数的函数值与1有关，可以用1来起桥梁作用；
3）自主求解，反思小结：
解：(1)根据两个指数函数的图象特征和相对位置，可得
2）由指数函数的性质知。
说明：通过例题的讲述和学生的自主探索，在巩固指数函数性质的基础上，进一步培养学生利用数学知识解决实际问题的能力和数学交流的能力。同时，在解题中渗透“数形结合”的数学思想。
让学生明白，函数图象是研究函数的直观工具，利用图象便于记忆函数的性质和变化规律，因此大家要“脑中有图”，能够数形结合，会“画图、看图、用图”，这样才能提高对函数思想方法的认识，并利用它来解决问题。
五）巩固练习。
让学生按照判别方法求解：
1、比较大小：
2、如果指数函数是r上的减函数，则a的取值范围是（ c ）
六）归纳小结。
1、思考：通过本课的学习，你对指数函数有什么认识？教科书是怎样研究指数函数的？你是通过什么来研究函数的性质的？指数函数有什么样的性质？
2、思考：假如某人每天给你100元，共给你10天，你可能会很高兴。但是，他有一个小要求，就是在这10天时间里，你第一天给他2元，第二天给他4元，第三天给他8元，按此法一直给到第10天，这笔交易，你同意做吗？
说明：让学生利用本节课所学知识讨论，使课堂教学得以延伸。（甲一共给乙100×10＝1000元，而乙仅在第十天一天就给了甲元）。
同时，让学生理解数学**于生活，又服务于生活，进一步激发学生学习数学的热情。
七）布置作业：课外补充。
六、素材推荐。
1、中国科普博览网（有关古莲子的资料）；
2、富兰克林的遗嘱---关于指数效应；
3、本节课的学习包（包括：函数图象。xls，空白表，课件“图象变化图象变化练习以、课后思考题及作业。）
指数函数 第一课时 教案
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