对数产生于17世纪.那时,为了确定船舶在大海中的航程和位置,为了观察行星运动所得数据,都必须对具有很多数位的数进行繁复的计算,对数的发明的重要性就在于提高了数字计算的速度.直到计算机与计算器普及之前,对数表与计算尺还在计算中发挥着重要作用.指数概念扩充到任意实数指数是17世纪到18世纪逐步形成的.18世纪后人们将它们联系起来研究.我们在学习中,要注意指数与对数、指数函数与对数函数的联系,这有利于我们理解和掌握有关概念.
在前面我们学习的指数函数y=ax(a>0,a≠1)中,若已知y和a,如何求x呢?即3x=5,x这是已知底数和幂的值,求指数的问题,也就是这一节我们要学习的对数问题.
学习目标】1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化;
2.了解常用对数与自然对数的意义,理解对数恒等式并能运用计算.
学习障碍】1.学生对logan=b这种表达很陌生,不习惯.
2.不明白对数式的含义,即对定义理解不确切.
3.对真数的取值范围意义不明白,误认为0和负数也可以.
4.对数式与指数式互化不熟练.
学习策略】.学习导引。
1.阅读课本p76~77页.
2.本课时重点是指数式与对数式的互化,ab=nb=logan(a>0,且a≠1).难点是对对数的定义的理解.
3.本课时主要基本知识.
对数的定义:如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于n,就是ab=n, 那么数b叫做以a为底n的对数,记作logan=b,其中a叫做对数的底数,n叫做真数.(“log”是拉丁文logarithm(对数)的缩写).
常用对数:通常将以10为底的对数叫常用对数.
自然对数:以e为底的对数叫做自然对数.
4.注意:零和负数没有对数.
5.学习本课时应注意:对数的概念比较难理解,对数符号初学时不太好掌握,学习时要抓住对数式与指数式的相互联系,深刻理解对数与指数关系,将有助于掌握对数概念,对于对数式与指数式的互化,简单对数值的计算,要多做些练习,以丰富对对数式的认识经验.对数运算是指数运算的逆运算,结合对数运算应注意培养自己的逆向思维能力.
.知识拓宽。
常用对数:以10为底的对数叫做常用对数,n的常用对数log10n,简记作lgn,例如log105记作lg5.
以无理数e=2.718281828459…为底的对数叫做自然对数,n的自然对数logen简记作lnn.例如自然对数loge3记作ln3.
自然对数与常用对数之间的关系:
lnn=,即lnn=2.303lgn.
在常用对数中我们省去了底数不写.
例如lg10=log1010=1,lg100=log10102=2,lg0.1=log1010-1=-1等等.
.障碍分析。
1.对数式、指数式与根式有怎样的关系?
答:指数式ab=n,根式=a和对数式logan=b(n>0,a>0,a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式.请见下表.
由此可见:①开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算.
弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义及运算的关键.即ab=nlogan=b(a>0且a≠1).
2.如何理解对数的概念?
答:(1)对数由指数而来.对数式logan=b是由指数式ab=n而来的,两式底数相同,对数式中的真数n就是指数式中的幂的值n,而对数值b是指数式中的幂指数.对数式与指数式的关系如图:
在指数式ab=n中,若已知a、n求幂指数b,便是对数运算b=logan.
2)对数记号logan只有在a>0且a≠1、n>0时才有意义,因为在ab=n中,a>0且a≠1,∴在logan中,a>0且a≠1.又因为正数的任何次幂都是正数,即ab>0(a>0),故n=ab>0.
3)关于对数的几个基本结论要牢记如:
零和负数没有对数,即在logan中n≤0时无意义.
loga1=0(a>0,a≠1).
logaa=1(a>0,a≠1).
注意:并不是所有的指数式都能直接改写成对数式,如(-2)2=4不能写成log(-2)4=2,只有a>0,a≠1,n>0,才有ab=nb=logan.
4)抓住两个问题实质,才能正确理解对数概念.
问题1 如果已知每年平均增长率α,求10年后国民生产总值是原来的多少倍.就是y=(1+α)10.
这是知道底数和指数,求幂值——指数问题.
问题2 如果已知每年平均增长率α,问需经过多少年国民生产总值是原来的2倍.就是(1+α)x=2
这是知道底数和幂值,求指数——对数问题.
3.对数恒等式的证明:
恒等式=n(a>0,a≠1,n>0)称为对数恒等式.
f[f -1(a)]=a的具体化,它表达了对数运算与指数运算的互逆关系.恒等式的证明如下:
设=x,两边取以a为底的对数,则有logax=logan,∴x=n,即=n.
使用这个恒等式的条件:作为整个幂的底数a,与指数中的对数的底数a是相同的,如果不同只有通过变形,将其化为“同底”后才能使用公式.
例]计算.分析:利用指数的运算法则和对数恒等式计算.
解:原式=3·
.思维拓展。
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(napier,1550~2024年),纳皮尔于2024年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》公布了他的对数发明,并解释了这项发明的特点.继承纳皮尔关于对数研究事业的著名人物应首推数学家布里格斯(briggs,2024年~2024年),他于2024年出版了《对数算术》一书,公布了以10为底的14位对数表,并称以10为底的对数为常用对数.
恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创造、微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就.
.**学习。
证明:lg2不是有理数.
参***:解:①f(-x)+f(x)=0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
当a>1时,>0,ax,-a-x在(-∞上都为增函数,f(x)在(-∞为增函数.
当0<a<1时,<0,ax,-a-x在(-∞上都为减函数。
f(x)在(-∞为增函数。
f(1-m)+f(1-m2)<0f(1-m)<f(m2-1)
0<m<1.
同步达纲练习】
一、选择题。
1.以7为底,的对数等于。
a.2b.4
c.2d.3
2.如果n=a2(a>0,且a≠1),则有。
a.log2n=a
b.log2a=n
c.logna=2
d.logan=2
3.下列说法中错误的是。
a.零和负数没有对数。
b.任何一个指数式都可化为对数式。
c.以10为底的对数叫做常用对数。
d.以e为底的对数叫做自然对数。
4.有以下四个结论,其中正确的是。
lg(lg10)=0;②lg(lne)=0;③若10=lgx,则x=10;④若e=lnx,则x=e2.
a.①③b.②④
c.①②d.③④
二、填空题。
5.若log3()=1,则x
6.log6[log4(log381
7.设f(10x)=x,则f(100
三、解答题。
8.试证明=n.
9.求满足logxy=1的y与x的函数关系式,并作出其图象.
参***。同步达纲练习】
一、1.d 提示:函数f(x)=(x|为偶函数,设y=f(x),t=|x|则y=()t函数t=|x|在(0,∞)上递增,因此f(x)=(x|在(0,+∞上递减.
2.c 提示:由y=得3x=由3x>0即>0∴0<y<1
3.b 提示:由f(-x)=(1+a-x)2ax=(1+ax)2·a-x=f(x).
4.d 提示:设t=,则y=()t由-x2+x+2≥0
得-1≤x≤2
函数t=(-1≤x≤2)的递减区间[,2]即为函数y=的递增区间.
二、5.(0,2] 提示:由t=x2-2x+=(x-1)2-得t≥-
当t∈[-时,函数y=0.25t的取值范围为0<y≤即0<y≤2
6.- 提示:设y=f(x),t=ax,则t>0,y=t2-3t+2=(t-)2-
当t=时,函数取到最小值为-
7.- 提示:∵函数f(x)=a+为奇函数且定义域为r.
f(0)=0即a+=0,∴a=-
三、8.(1)解:要使f(x)有意义,必须2x-1≠0即x≠0,函数f(x)的定义域是(-∞0)∪(0,+∞
2)解:∵f(-x)=(x)3
(x3=f(x),f(x)是定义域上的偶函数.
3)证明:当x>0时,2x>1,x3>0,∴f(x)>0,又f(x)是偶函数,故当x<0时,也有f(x)=f(-x)>0故f(x)>0.
9.解:(1)∵g(x)+h(x)=10x
将x换为-x得g(-x)+h(-x)=10-x
即g(x)-h(x)=10
由①②联立得:g(x)=,h(x)=
2)设x1<x2
①,且。+②得:
即h(x1)<h(x2),因此h(x)在(-∞上递增.
11对数与对数运算 第一课时
第一课时 2.2.1对数与对数运算 一 一 提出问题。思考 p62思考题 中,哪一年的人口数要达到10亿 20亿 30亿 该如何解决?即 在个式子中,分别等于多少?象上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数。二 对数的概念。一般地,若那么数叫做以a为底n的对数,记作。叫做...
2 2 1对数与对数运算 第一课时对数
2.2.1对数与对数运算 第一课时对数 苏佩妍 20072201342 一 教学内容分析 本节课选自 普通高中课程标准实验教科书 数学必修1 人教a版 第二章第2节第一课时。在知识结构上,已经学习了一类重要的基本初等函数 指数函数,本节课为另一类重要的基本初等函数 对数函数的学习起着重要的铺垫作用。...
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