对数产生于17世纪．那时，为了确定船舶在大海中的航程和位置，为了观察行星运动所得数据，都必须对具有很多数位的数进行繁复的计算，对数的发明的重要性就在于提高了数字计算的速度．直到计算机与计算器普及之前，对数表与计算尺还在计算中发挥着重要作用．指数概念扩充到任意实数指数是17世纪到18世纪逐步形成的．18世纪后人们将它们联系起来研究．我们在学习中，要注意指数与对数、指数函数与对数函数的联系，这有利于我们理解和掌握有关概念．
在前面我们学习的指数函数y＝ax（a>0,a≠1）中，若已知y和a，如何求x呢？即3x＝5,x这是已知底数和幂的值，求指数的问题，也就是这一节我们要学习的对数问题．
学习目标】1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化；
2．了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用计算．
学习障碍】1．学生对logan＝b这种表达很陌生，不习惯．
2．不明白对数式的含义，即对定义理解不确切．
3．对真数的取值范围意义不明白，误认为0和负数也可以．
4．对数式与指数式互化不熟练．
学习策略】．学习导引。
1．阅读课本p76~77页．
2．本课时重点是指数式与对数式的互化，ab＝nb＝logan（a>0,且a≠1）．难点是对对数的定义的理解．
3．本课时主要基本知识．
对数的定义：如果a（a>0,a≠1）的b次幂等于n，就是ab＝n, 那么数b叫做以a为底n的对数，记作logan＝b,其中a叫做对数的底数，n叫做真数．（“log”是拉丁文logarithm（对数）的缩写）．
常用对数：通常将以10为底的对数叫常用对数．
自然对数：以e为底的对数叫做自然对数．
4．注意：零和负数没有对数．
5．学习本课时应注意：对数的概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数式与指数式的相互联系，深刻理解对数与指数关系，将有助于掌握对数概念，对于对数式与指数式的互化，简单对数值的计算，要多做些练习，以丰富对对数式的认识经验．对数运算是指数运算的逆运算，结合对数运算应注意培养自己的逆向思维能力．
．知识拓宽。
常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，n的常用对数log10n，简记作lgn，例如log105记作lg5．
以无理数e＝2．718281828459…为底的对数叫做自然对数，n的自然对数logen简记作lnn．例如自然对数loge3记作ln3．
自然对数与常用对数之间的关系：
lnn＝，即lnn＝2.303lgn．
在常用对数中我们省去了底数不写．
例如lg10＝log1010＝1，lg100＝log10102＝2，lg0．1＝log1010－1＝－1等等．
．障碍分析。
1．对数式、指数式与根式有怎样的关系？
答：指数式ab＝n，根式＝a和对数式logan＝b（n>0，a>0，a≠1）是同一种数量关系的三种不同表达形式．请见下表．
由此可见：①开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算．
弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义及运算的关键．即ab＝nlogan＝b（a>0且a≠1）．
2．如何理解对数的概念？
答：（1）对数由指数而来．对数式logan＝b是由指数式ab＝n而来的，两式底数相同，对数式中的真数n就是指数式中的幂的值n，而对数值b是指数式中的幂指数．对数式与指数式的关系如图：
在指数式ab＝n中，若已知a、n求幂指数b，便是对数运算b＝logan．
2）对数记号logan只有在a>0且a≠1、n>0时才有意义，因为在ab＝n中，a>0且a≠1，∴在logan中，a>0且a≠1．又因为正数的任何次幂都是正数，即ab>0（a>0），故n＝ab>0．
3）关于对数的几个基本结论要牢记如：
零和负数没有对数，即在logan中n≤0时无意义．
loga1＝0（a>0，a≠1）．
logaa＝1（a>0，a≠1）．
注意：并不是所有的指数式都能直接改写成对数式，如（－2）2＝4不能写成log（－2）4＝2，只有a>0，a≠1，n>0，才有ab＝nb＝logan．
4）抓住两个问题实质，才能正确理解对数概念．
问题1 如果已知每年平均增长率α，求10年后国民生产总值是原来的多少倍．就是y＝（1＋α）10．
这是知道底数和指数，求幂值——指数问题．
问题2 如果已知每年平均增长率α，问需经过多少年国民生产总值是原来的2倍．就是（1＋α）x＝2
这是知道底数和幂值，求指数——对数问题．
3．对数恒等式的证明：
恒等式＝n（a>0，a≠1，n>0）称为对数恒等式．
f［f －1（a）］＝a的具体化，它表达了对数运算与指数运算的互逆关系．恒等式的证明如下：
设＝x，两边取以a为底的对数，则有logax＝logan，∴x＝n，即＝n．
使用这个恒等式的条件：作为整个幂的底数a，与指数中的对数的底数a是相同的，如果不同只有通过变形，将其化为“同底”后才能使用公式．
例］计算．分析：利用指数的运算法则和对数恒等式计算．
解：原式＝3·
．思维拓展。
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（napier，1550~2024年），纳皮尔于2024年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》公布了他的对数发明，并解释了这项发明的特点．继承纳皮尔关于对数研究事业的著名人物应首推数学家布里格斯（briggs，2024年~2024年），他于2024年出版了《对数算术》一书，公布了以10为底的14位对数表，并称以10为底的对数为常用对数．
恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创造、微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就．
．**学习。
证明：lg2不是有理数．
参***：解：①f（－x）＋f（x）＝0，∴f（－x）＝－f（x），∴f（x）为奇函数．
当a＞1时，＞0，ax，－a－x在（－∞上都为增函数，f（x）在（－∞为增函数．
当0＜a＜1时，＜0，ax，－a－x在（－∞上都为减函数。
f（x）在（－∞为增函数。
f（1－m）＋f（1－m2）＜0f（1－m）＜f（m2－1）
0＜m＜1．
同步达纲练习】
一、选择题。
1．以7为底，的对数等于。
a．2b．4
c．2d．3
2．如果n＝a2（a>0，且a≠1），则有。
a．log2n＝a
b．log2a＝n
c．logna＝2
d．logan＝2
3．下列说法中错误的是。
a．零和负数没有对数。
b．任何一个指数式都可化为对数式。
c．以10为底的对数叫做常用对数。
d．以e为底的对数叫做自然对数。
4．有以下四个结论，其中正确的是。
lg（lg10）＝0；②lg（lne）＝0；③若10＝lgx，则x＝10；④若e＝lnx，则x＝e2．
a．①③b．②④
c．①②d．③④
二、填空题。
5．若log3（）＝1，则x
6．log6［log4（log381
7．设f（10x）＝x，则f（100
三、解答题。
8．试证明＝n．
9．求满足logxy＝1的y与x的函数关系式，并作出其图象．
参***。同步达纲练习】
一、1．d 提示：函数f（x）＝（x|为偶函数，设y＝f（x），t＝|x|则y＝（）t函数t＝|x|在（0，∞）上递增，因此f（x）＝（x|在（0，＋∞上递减．
2．c 提示：由y＝得3x＝由3x＞0即＞0∴0＜y＜1
3．b 提示：由f（－x）＝（1＋a－x）2ax＝（1＋ax）2·a－x＝f（x）．
4．d 提示：设t＝，则y＝（）t由－x2＋x＋2≥0
得－1≤x≤2
函数t＝（－1≤x≤2）的递减区间［，2］即为函数y＝的递增区间．
二、5．（0，2］ 提示：由t＝x2－2x＋＝（x－1）2－得t≥－
当t∈［－时，函数y＝0．25t的取值范围为0＜y≤即0＜y≤2
6．－ 提示：设y＝f（x），t＝ax，则t＞0，y＝t2－3t＋2＝（t－）2－
当t＝时，函数取到最小值为－
7．－ 提示：∵函数f（x）＝a＋为奇函数且定义域为r．
f（0）＝0即a＋＝0，∴a＝－
三、8．（1）解：要使f（x）有意义，必须2x－1≠0即x≠0，函数f（x）的定义域是（－∞0）∪（0，＋∞
2）解：∵f（－x）＝（x）3
（x3＝f（x），f（x）是定义域上的偶函数．
3）证明：当x＞0时，2x＞1，x3＞0，∴f（x）＞0，又f（x）是偶函数，故当x＜0时，也有f（x）＝f（－x）＞0故f（x）＞0．
9．解：（1）∵g（x）＋h（x）＝10x
将x换为－x得g（－x）＋h（－x）＝10－x
即g（x）－h（x）＝10
由①②联立得：g（x）＝，h（x）＝
2）设x1＜x2
①，且。＋②得：
即h（x1）＜h（x2），因此h（x）在（－∞上递增．
11对数与对数运算 第一课时
第一课时 2.2.1对数与对数运算 一 一 提出问题。思考 p62思考题 中，哪一年的人口数要达到10亿 20亿 30亿 该如何解决？即 在个式子中，分别等于多少？象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数。二 对数的概念。一般地，若那么数叫做以a为底n的对数，记作。叫做...
2 2 1对数与对数运算 第一课时对数
2.2.1对数与对数运算 第一课时对数 苏佩妍 20072201342 一 教学内容分析 本节课选自 普通高中课程标准实验教科书 数学必修1 人教a版 第二章第2节第一课时。在知识结构上，已经学习了一类重要的基本初等函数 指数函数，本节课为另一类重要的基本初等函数 对数函数的学习起着重要的铺垫作用。...
2 2 1对数与对数运算第一课时
2.2.1 对数与对数运算 第一课时 教学目的 理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化 掌握对数的运算性质。教学重点 对数的概念及运算性质。教学难点 对数概念的理解及运算性质的证明。教学过程 一 实例引入 在之前的学习中我们会遇到这样的问题 那如果改为那呢？这就是今天我们将要学习的对数 板入课...