立体几何高考试题。
1.(2014 全国新课标i,19,12分)如图三棱柱中，侧面为菱形，.
ⅰ）证明：；
ⅱ）若，，ab=bc
求二面角的余弦值。
2.( 2014全国新课标ⅱ,18,12分) 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．
ⅰ）证明：平面；
ⅱ）设二面角为，,，求三棱锥的体积．
3.( 2014全国大纲，19,12分) 如图，三棱柱中，点在平面abc内的射影d在ac上，，.
i）证明：；
ii）设直线与平面的距离为，求二面角的大小。
4.( 2014北京，17,14分)
如图，正方形的边长为2，分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点。
（1）求证：；
（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长。
5.( 2014 山东，17,12分) 如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形， ，是线段的中点。
）求证。）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值。
6.( 2014 江苏，16,14分)如图，在三棱锥中，，e，f分别为棱的中点。已知，求证： (1)直线平面；
2)平面平面。
7.( 2014 浙江，20,15分) 如图，在四棱锥中，平面平面。
1）证明：平面；
2）求二面角的大小。
8.( 2014 福建，17,12分) 在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图。
1）求证：abcd；
2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值。
9.( 2014 安徽，20,13分)如图，四棱柱中，底面。四边形为梯形，,且。过三点的平面记为，与的交点为。（ⅰ证明：为的中点；
ⅱ）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；
ⅲ）若，，梯形的面积为6，求。
平面与底面所成二面角大小。
10.( 2014 辽宁，19,12分)如图，和所在平面互相垂直，且，，e、f分别为ac、dc的中点。
1）求证：；
2）求二面角的正弦值。
11.( 2014 天津，17,13分)如图，在四棱锥中，底面，，，点为棱的中点．
1）证明；2）求直线与平面所成角的正弦值；
3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．
12.( 2014 湖南，19,12分) 如图6，四棱柱的所有棱长都相等，四边形均为矩形．
i） 证明：
ii） 若的余弦值．
13.( 2014 湖北，19,12分) 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱，上移动，且。
1）当时，证明：直线平面；
2）是否存在，使平面与面所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
14.( 2014 江西，19,12分)如图，四棱锥中，为矩形，平面平面。
1）求证：2）若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值。
15.( 2014 陕西，17,12分) 四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分。
别交四面体的棱于点。
）证明：四边形是矩形；
）求直线与平面夹角的正弦值。
16.( 2014 重庆，19,12分) 如图（19），四棱锥，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且。
（1）求的长；
（2）求二面角的正弦值。
17.( 2014 四川，18,12分) 三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示。设分别为线段的中点，为线段上的点，且。
ⅰ）证明：是线段的中点；
ⅱ）求二面角的余弦值。
18.( 2014广东 ,18,13分)如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点。
1）证明：2）求二面角的余弦值。
参***：1】(2014全国新课标i，19，12分)
解：i） 连接，则o为与的交点。因为侧面为菱形，所以。
又平面，所以，故平面abo.
由于平面abo，故 ……6分。
ii） 作，垂足为d，连接ad.作，垂足为h. 由于，，故平面aod，所以。又，所以平面abc.
因为，所以为等边三角形，又bc=1，可得。由于，所以。
由，且，得。
又o为的中点，所以点到平面 abc的距离为故三棱柱的距离为 .
2】(2014全国新课标ⅱ，18，12分)
解：（i）设bd与ac的交点为o，连结eo.
因为abcd为矩形，所以o为bd的中点，又。
e为pd的中点，所以eo∥pb.
eo平面aec，pb平面aec,所以pb∥平面aec.
ⅱ）v.由，可得。
作交于。由题设知平面，所以，故平面。
又。所以a到平面pbc的距离为。
3】(2014全国大纲，19，12分)
解法一：（1）∵a1d⊥平面abc, a1d平面aa1c1c,故平面aa1c1c⊥平面abc,又bc⊥ac，所以bc⊥平面aa1c1c，连结a1c，因为侧面aa1c1c是棱形，所以ac1⊥a1c,由三垂线定理的ac1⊥a1b.
2) bc⊥平面aa1c1c，bc平面bcc1b1,故平面aa1c1c⊥平面bcc1b1,作a1e⊥c1c,e为垂足，则a1e⊥平面bcc1b1,又直线a a1∥平面bcc1b1，因而a1e为直线a a1与平面bcc1b1间的距离，a1e=，因为a1c为∠acc1的平分线，故a1d=a1e=,作df⊥ab，f为垂足，连结a1f,由三垂线定理得a1f⊥ab，故∠a1fd为二面角a1-ab-c的平面角，由ad=,得d为ac的中点，df=,tan∠a1fd=,所以二面角a1-ab-c的大小为arctan.
解法二：以c为坐标原点，射线ca为x轴的正半轴，以cb的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系c-xyz，由题设知a1d与z轴平行，z轴在平面aa1c1c内。
1）设a1（a，0，c），由题设有a≤2，a（2,0,0）b（0,1,0），则(-2，1，0),，由得，即，于是①,所以。
2）设平面bcc1b1的法向量，则，,即，因，故y=0，且（a-2）x-cz=0，令x=c，则z=2-a，，点a到平面bcc1b1的距离为，又依题设，点a到平面bcc1b1的距离为，所以c=.代入①得a=3（舍去）或a=1.于是，设平面aba1的法向量，则，即。
且-2p+q=0，令p=，则q=2，r=1，，又为平面abc的法向量，故cos，所以二面角a1-ab-c的大小为arccos
4】(2014北京，17，14分)
解：（i）在三棱柱中，底面abc，所以ab，又因为ab⊥bc，所以ab⊥平面，所以平面平面。
ii）取ab中点g，连结eg，fg，因为e，f分别是、的中点，所以fg∥ac，且fg=ac，因为ac∥，且ac=，所以fg∥，且fg=，所以四边形为平行四边形，所以eg，又因为eg平面abe，平面abe，所以平面。
iii）因为=ac=2，bc=1，ab⊥bc，所以ab=，所以三棱锥的体积为： =
5】(2014山东，18，12分)
解：（i）设，连结of，ec，由于e为ad的中点，所以，因此四边形abce为菱形，所以o为ac的中点，又f为pc的中点，因此在中，可得。
又平面bef，平面bef，所以∥平面。
i)由题意知，所以四边形为平行四边形，因此。
又平面pcd，所以，因此。
因为四边形abce为菱形，所以。
又，ap，ac平面pac，所以⊥平面。
6】(2014江苏，16，14分)
解析】（1）∵d,e,分别为pc,ac,的中点。
de∥pa又∵de 平面pac，pa 平面pac
直线pa∥平面def
2）∵e,f分别为棱ac,ab的中点，且bc=8，由中位线知ef=4
d,e,分别为pc,ac,的中点，且pa=6，由中位线知de=3，又∵df=5
df=ef+de=25，∴de⊥ef，又∵de∥pa，∴pa⊥ef，又∵pa⊥ac，又∵ac ef=e，ac 平面abc，ef 平面abc，∴pa⊥平面abc，∴de⊥平面abc，∵de 平面bde，∴平面bde⊥平面abc
7】(2014浙江，20，12分)
解：（1）连结，在直角梯形中，由，得，由得，即，又平面平面，从而平面。
2）在直角梯形中，由，得，又平面平面，所以平面。
作于的延长线交于，连结，则平面，所以是直线与平面所成的角。
在中，由，，得，在中，，，得，在中，由，得，所以直线与平面所成的角的正切值是。
8】(2014福建，19，12分)
解：（1）∵平面bcd，平面bcd，.
又∵，平面abd，平面abd，平面。
2）由平面bcd，得。，∴
m是ad的中点，.
由（1）知，平面abd，三棱锥c-abm的高，因此三棱锥的体积。
解法二：1）同解法一。
2）由平面bcd知，平面abd平面bcd，又平面abd平面bcd=bd，如图，过点m作交bd于点n.
则平面bcd，且，又，.
三棱锥的体积。
9】(2014安徽，19，13分)
解：（ⅰ证：因为bc∥平面gefh，，且，所以gh∥bc。同理可证ef∥bc，因此gh∥ef。
ⅱ）解：连接ac，bd交于点o，bd交ef于点k，连接op，gk
因为pa=pc，o是ac的中点，所以，同理可得。
又，且ac、bd都在底面内，所以。
又因为且，所以，因为。
所以po ∥gk，且，从而。
所以gk是梯形gefh的高。
由得。从而，即k为ob的中点。
再由po∥gk得，，即g为pb的中点，且。
由已知可得。
所以。故四边形gefh的面积。
10】(2014辽宁，19，12分)
解：（ⅰ证明：由已知得．因此．又为中点，所以；同理；因此平面．又．所以平面bcg．
ⅱ）在平面内．作．交延长线于．由平面平面．知平面．
又为中点，因此到平面距离是长度的一半．在中，．
所以．11】(2014天津，17，13分)
解：（i）)证明：如图取pb中点m,连接mf,am.
因为f为pc中点，故mf//bc且mf=bc.由已知有bc//ad，bc=ad.又由于e为ad中点，因而mf//ae且mf=ae，故四边形amfe为平行四边形，所以ef//am,又am平面pab,而ef平面pab,所以ef//平面pab.
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