某厂生产的某种产品有甲、乙两个型号，假设该工厂的产品都能售出，并等于市场上的销量。工厂的利润既取决于销量和（单件）**，也依赖于产量和（单件）成本，按照市场经济规律，甲的**会随其销量的增长而降低，同时乙的销量的增长也会使甲的**有一定的下降；乙的**遵循同样的规律。而甲、乙的成本都随其各自产量的增长而降低，且各有一渐进值。
请你为该工厂设计一个最佳的产销量安排计划，即确定两个型号各自的产量，使总的利润最大。
解答提示。1． 无约束优化模型建立与求解。
记甲、乙两个型号的产（销）量分别为x1和x2，**分别为p1和p2，成本分别为q1和q2。简单地假设每个型号的**与两个型号的销量成线性关系，即，，，并且合理地设（为什么？）。
简单地假设每个型号的成本与本型号的产量服从负指数关系，且有渐进值，即，，。于是总利润为。
问题化为求解 。
设定如下一组数据：，输入matlab求解，得到结果为：甲的产量为23.9025，乙的产量为62.4977，最大利润为6413.5。
查看程序**。
function y=fun(x)
y1=((100-x(1)-0.1*x(2))-30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1);
y2=((280-0.2*x(1)-2*x(2))-100*exp(-0.02*x(2))+30))*x(2);
y=-y1-y2;
x0=[50,70];
x,y]=fminunc(@fun,x0),z=-y
题目2饮料厂的生产计划。
某饮料厂只生产一种饮料用以满足市场需求。该厂销售科根据市场**，已经确定了下一个月（未来四周）该饮料的需求量。该厂生产计划科根据本厂实际列出了一个生产计划数据表（如下表所示）。
根据此表第二栏（生产能力）的数据，该厂能够提前完成生产任务，但如果周末有产品库存，每千箱饮料的库存费为千元。如果工厂目前没有库存饮料，第四周结束时也不能有库存饮料，则应如何安排生产， 可以保证按时满足市场需求， 且使总费用最小？
1. 线性规划模型建立与求解。
注意：此提示的数据是参考默认输入的数据值，请注意比较）
本题目主要考察线性规划模型建立与求解。
这一生产计划问题涉及多个生产阶段，需要考虑多个阶段中的生产和库存策略，使总的生产成本和库存费用之和最小。这种涉及多个生产阶段的生产计划问题是多阶段生产计划问题，在实际中广泛存在。
设未来四周该饮料的生产数量分别为x1, x2, x3，x4，周末的库存数量分别为y1, y2, y3，y4，工厂的月利润为z。在题目所给假设下，y4=0，可得如下线性规划模型：
以上目标函数（1）是对包括生产费和库存费在内的总费用求最小，约束（2-1）、（2-2）、（2-3）、（2-4）描述了需求、产量和库存之间的关系（通常称为物流平衡条件），（3）表示的是生产能力限制，（4）是非负限制。
将以上模型输入matlab求解，可以得到最优解如下： =15，40，25，20，0，15，5），最小总费用为528(千元)。
查看程序**。
c=[5.0,5.1,5.4,5.5,0.2,0.2,0.2];
a=eye(4);
aa=[-1,0,0;1,-1,0;0,1,-1;0,0,1];
a2=[a,aa];
b2=[15,25,35,25];
v1=zeros(1,7);
v2=[30,40,45,20,inf,inf,inf];
opt=optimset('largescale','off');
x=linprog(c,a2,b2,v1,v2,opt)
f=c*x窗体顶端。
题目3 投资组合问题。
某投资公司经理正在考虑将元**用于**投资。经过慎重考虑，他从所有上市交易的**中选择了三种**作为侯选投资对象。经过分析，该经理认为每年**1的期望收益为每股元，方差为；**2的期望收益为每股元，而方差为；**3的期望收益为每股元，而方差为。
此外，**收益的协方差为，**收益的协方差为，**收益的协方差为。目前**的市价分别为每股元、元，元。
1） 如果该投资人期望今年得到%的投资回报，则应如何投资？
窗体底端。2） 画出投资回报与风险之间的关系图。
1．问题1）的模型建立与求解。
注意：此提示的数据是参考默认输入的数据值，请注意比较）
本题目主要考察二次规划模型建立与求解。
决策变量分别用x1 、x2和 x3 表示投资**的数量。国内**通常以"一手"（100股）为最小单位**，所以这里**数量以100股为单位。注意此时期望收益就是以百元为单位。
决策目标一种衡量投资风险的方法是用收益的方差来衡量，即。
z = 1)
于是，决策目标可以表示为。
min (2)
约束条件投资的期望收益为5x1+8x2 +10x3，该投资人期望今年得到20%的投资回报，即。
5x1+8x2 +10x3 >=1000 (3)
实际投资时投资者可能还面临许多其他约束条件。我们在这里只考虑可用于投资的资金的限制，即。
20x1+25x2+30x3 ≤ 5000 (4)
模型求解。（2）（3）（4）共同构成本题的优化模型（当然，加上x1 和 x2的非负限制）。这一模型是一个特殊的非线性规划，即二次规划(qp-quadratic programming)。
用matlab求解得到： x1=131.114130434783，x2=15.
285326086957, x3 =22.214673913043.
由于在投资时购买**的数量必须是整数（手），我们简单将上述结果取整（上整数或下整数）。例如： x1=132，x2=15，x3=22。
该投资人应投资**的数量分别为和2200(股)。所用去的资金为13200′20+1500′25+2200′30 = 367500（元），期望利润为13200′5+1500′8+2200′10 = 100000 （元），此时的风险（方差）为 68116 (均方差约为261（百元）)。
2. 投资回报与风险之间的关系图：
h=[8 5 -20;5 72 -30;-20 -30 200];
a=[-5 -8 -10;20 25 30];
c=[0 0 0];
b=[-1000,5000];
x=quadprog(h,c,a,b)
std=sqrt(x'*h*x/2)
rev=-a(1,:)x
计算结果为：
x =1.0e+002 *
std =2.609686179700873e+002rev =
h=[8 5 -20;5 72 -30;-20 -30 200];
a=[-5 -8 -10;20 25 30];
c=[0 0 0];
v1=[0 0 0];
for i=1:160,b=[-i*10,5000];
x=quadprog(h,c,a,b,v1);
std(i)=sqrt(x'*h*x/2);
rev(i)=-a(1,:)x;
endplot(rev,std);
xlabel('rev($100)')
ylabel('std($100)')
题目4 **与选址。
某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标x, y表示，距离单位：公里）及水泥日用量d（吨）由下表给出。拟建两个料场，日储量各有吨。
假设从料场到工地之间均有直线道路相连，试确定两个料场的位置并制定每天的**计划，即从两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。
1．模型建立与求解。
注意：此提示的数据是参考默认输入的数据值，请注意比较）
记工地的位置为 ，水泥日用量为 ；料场位置为 ，日储量为 ；从料场j向工地i的运送量为cij。这个优化问题的目标函数（总吨公里数）可表为。
各工地的日用量必须满足，所以。
各料场的运送量不能超过日储量，所以。
要同时确定料场的位置和运送量 ，在同样条件下使总吨公里数最小。这是一个非线性规划问题，用matlab解得：
总吨公里数为85.3。
matlab程序。
2． matlab程序。
为了减少变量，我们只把从料场1向工地i的运送量作为变量，料场2向工地i的运送量可以用工地i的需求量和料场1向工地i的运送量表示出来。matlab程序如下：
function f=shili084fun(x)
a=[1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25];
b=[1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75];
x(1:6): quantity from (x(13), x(14)) to (a(i),b(i))
x(7:12): quantity from (x(15), x(16)) to (a(i),b(i))
f=0;for i=1:6
d1=sqrt((x(13)-a(i))^2+(x(14)-b(i))^2);
d2=sqrt((x(15)-a(i))^2+(x(16)-b(i))^2);
f=d1*x(i)+d2*x(i+6)+f;
end主程序为：
location 1: (x(13),x(14)),quantity from 1: x(1:6)
location 2: (x(15),x(16)),quantity from 2: x(7:12)
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