从最短路径问题看数学建模。
秭归县实验中学张秀云。
众所周知，数学**于生活，生活无处不数学，但数学教学最终为了什么，个人理解，数学既然**于生活，数学教育教学后，我们应用数学知识一定要能服务于生活，运用于生活。所以，借助生活实例，提炼数学模型，建构数学知识，并最终回归到用数学模型解决生活实际问题，这才是数学真正意义所在。
数学建模是对日常生活和实际问题中的数学问题进行抽象化，建立数学模型，然后求解模型的过程。学生在进行数学知识和实际生活双向建构的过程中，体会到数学的价值，享受到学习数学的乐趣，体会到充满生命活力的数学学习过程，这对于培养学生的应用意识和创新精神是一个很好的途径，也体现出大纲中的“学数学，做数学，用数学”的理念。
下面我以“最短路径问题”这个课题学习谈谈数学建模在数学学习和解决实际问题中的重要体现。
一、最短路径问题模型。
1）引入——孕育数学模型，明确数学模型的成因。
引例如图1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向a、b两镇供气．泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管线最短？
教学分析：碰到实际问题，首先考虑的是将实际问题转化为数学问题，将实物图形转化成几何图形，所以引导学生把管道近似地看成一条直线，两镇近似地看成两个点a、b（如图2）．连结ab交直线于点c，泵站修在管道点c处，可使所用的输气管线最短．
此处让学生说明理由：两点间线段最短。从而发现a、b、c三点共线时，两条线段之和最短。在学生头脑中初步形成最短路径问题的理论支撑。
2）提炼——建立数学模型。
例1 如图2，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向a、b两镇供气．泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管线最短？
教学分析：例1建立在引例基础上，学生不难想到转未知为已知，把同侧两点转化为异侧两点解决问题，从而提炼出数学模型：直线同侧两点时求作直线上一点，以保证两条线段之和为最短，解决办法是变同侧两点为异侧两点，利用两点之间线段最短找到最短路径。
3）模仿——熟悉数学模型。
例2 如图5，一个港湾内停留了m、n两艘轮船．（1）由于某种原因，m船的船长需先到oa岸接一个人，再到n船．问m船的船长应如何行驶，才能使m船所行的航线最短？
教学分析：此题在原模型的基础上新增了射线ob，即让学生判断找哪条直线的对称点问题，再次让学生审题明白船长路线问题获知是到oa边，在模仿数学模型的过程中进一步明确模型的本质特征，找对称点必须先明确对称轴。
4）拓展——揭示模型本质。
例3 （接上例）如图6，若m船的船长从m处出发，先到oa岸，再到ob岸，最后到n船，问m船的船长应如何行驶，才能使m船所行的航线最短？
教学分析：分别作点m、n关于射线oa、ob的对称点c、d，连结cd交射线oa于点e、ob于点f，连结me、nf，则m船的船长按路线me→ef→fn行驶时航线最短，在上一题的基础上进一步增加情境，以利拓展思路。
5）迁移——模型的形式化。
例4 如图7，设正三角形abc的边长为2，m是ab边上的中点，p是bc上任意一点，pa+pm的最大值和最小值分别记为和，求的值．
教学分析：（1）由于点p是bc边上任意一点，易知当点p与点c重合时， pa+pm的值最大，此时；（2）作点m关于bc边的对称点n，连结an交bc边于点p，连结mp，则pa+pm的值最小．连结cm、cn，由中垂线的性质和等腰三角形的“三线合一”，得cn=cm=，∠1=∠2=∠3=300．在rt△acn中，．综合（1）、（2），得==．由此题发现，数学模型永远只是个形式，凡是符合这个形式的都可以迁移运用。
例5 已知，均为正实数，且．求的最小值．
教学分析：构造如图8所示的几何图形，其中ac⊥cd，bd⊥cd，ac=4，bd=3，pc=，pd=，则，，即=ap+bp．作点b关于直线cd的对称点f，连结af，则的最小值为线段af的长．作矩形cdfe，则在rt△aef中，ae=7，ef=6，由勾股定理，得．即的最小值为．此题对模型的迁移作了一个思维转换，实现了数形结合，把模型运用到数的运算中，让学生体会到模型的强大迁移功能。
6）应用——模型的生活化。
例6 如图9，a为马厩，b为帐篷，牧马人某天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线．
教学分析：著名的将军饮马问题只是实际生活中的一个缩影，类似于此的很多生活实例，我们在掌握了基本数学模型后，一切问题都迎刃而解。
二、最短路径问题的延伸拓展。
1、原题再现。
如图1，a和b两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥mn。桥造在何处才能使从a到b的路径amnb最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。
分析：由于河岸宽度是固定的，造的桥要与河垂直，因此路径amnb中的mn的长度是固定的，仍然转化成am与nb两线段和的最短距离问题，我们可以将点a沿与河垂直的方向平移mn的距离到a1，那么为了使amnb最短，只需a1b最短。根据两点之间距离最短，连接a1b，交河岸于点n，在此处造桥mn，所得路径amnb就是最短路径。
如图2。此题剔除里面的定长mn后，仍然回归到两条线段和距离最短问题，既然如此，最短路径问题的模型仍可适用。
2、拓展应用。
拓展1：如图4，如果a、b两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的。我们如何找到这个最短的距离呢？
方法1：仿照上例，可以将点a沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到到a1、a2，路径中两座桥的长度是固定的。为了使路径最短，只要a2b最短。
连接a2b，交河流2河岸于n，在此处造桥mn；连接a1m，交河流1河岸于p，在此处造桥pq。所得路径aqpmnb最短。
方法2：此题还可以用以下方法来确定建桥位置。
如图6，将点a沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到a1，将b沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到b1，连接a1b1与两条河分别相交于n、p，在n、p两处，分别建桥mn、pq，所得路径aqpmnb最短。
拓展2：如图7，如果a、b之间有三条平行的河流呢？
方法1：仿照拓展二方法1，将点a沿与河垂直的方向平移s三个河宽分别到到a1、a2、a3，路径中三座桥的长度是固定的。为了使路径最短，只要a3b最短。
连接a3b，交河流3于n，在此处造桥mn；连接a2n，交河流2于p，在此处造桥pq；连接a1q，交河流1于r，在此处造桥rs。所得路径asrqpmnb最短。
方法2：此处还可以先将a沿与河流1河岸垂直的方向平移两个单位到a1、a2，再将b沿与河流3河岸垂直的方向平移一个河宽到b1；或先将a沿与河岸垂直的方向平移1个单位到a1，再将b沿与河岸平移2一个河宽到b1、b2，来选择修桥位置。（可以让学生自己画出图形。
）拓展3：如图9，如果在上述条件不变的情况下，两条河不平行，又该如何建桥？
方法1：如图10，先将点a沿与河流1河岸垂直的方向平移一个河宽到a1，再沿与河流2河岸垂直的方向平移一河宽到a2，连接a2b，交河流2河岸于n，此处建桥mn；连接a1m，交河流1于p，在此处建桥pq。所得路径aqpmnb最短。
方法2：也可以将a沿与河流1垂直的方向平移1个河宽，得到a1，再将b沿与河流2河岸垂直的方向平移1个河宽得到b1，连接a1b1与河流1、河流2分别相交于n、p，分别作桥mn、pq。所得路径aqpnmb最短。
拓展4：如果在上述条件不变的情况下，两条河不平行也不等宽，又该如何建桥？学生可以尝试由已建数学模型自已画图并解决问题。
由以上拓展，我们不难体会到，造桥选址问题，要使所得到的路径最短，就是要通过平移变换，使除桥长不变外所得到的其他路径经平移后在一条直线上，从而回归到我们开始的数学模型上来。
数学建模思想作为解决问题的一种思想方法，是实际问题与抽象的数学知识之间的一个转化过程，在教学与实际生活中都具有非常重要的意义。以上诸多实例正说明数学模型思想的广泛应用，作为一线教师，如多一些这样的挖掘和归纳整理，数学教育教学将是一个更美好的明天。
数学建模课
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