数学建模参赛队员组队及其优化模型。
摘要。全国大学生数学建模竞赛即将拉开帷幕，如何选拔优秀学生并科学合理的组建参赛队伍是每个参赛院校面临的共同问题。本文根据本校本次实际参赛选手能力的各项数据进行分析，对其最佳组队方案进行研究，建立模型得到整体最优的组队方案，并进行优化。
为了了解各项能力指标对比赛成绩的影响，首先利用分层模型，对学科成绩、编程能力、写作能力分析权重，制定出团队量化分数公式。
在模型一中，在对组员按特长进行分类，根据整体实力定出“优秀线”，然后进行强弱互补组合，力求能达到优秀分数线的人数最多，然后利用动态规划模型得出最优组队方案。
在模型二中，为了实力超强的队伍尽量多，而放弃了部分实力较弱的队伍，分别在原始数据和模型一中分类过的数据的基础上，利用lingo求出分数最高的最优组合，余下的继续求出次优组合如此重复，得到组队方案。
模型优化，在已有方案的基础上，单独考虑团结协作能力和领导能力的影响，同样就领导能力分出专长选手，尽可能保证每队中有一名领导能力强的选手，对问题一的方案进行优化，将团结协作能力和领导能力加权后作为系数加入最终分数的评定得出优化后的最优组队方案。
关键词】：“强弱互补”、“强强联合”、层次分析法、动态规划求最优解。
一、问题重述。
全国大学生数学建模竞赛即将拉开帷幕，如何选拔优秀学生并科学合理的组建参赛队伍是每个参赛院校面临的共同问题。假设我校共有100名学生报名参加数学建模竞赛，每个参赛队由3名学生组成，试建立数学模型确定参赛队员的组队方案，使之满足：
1）每个队至少包含一名学科成绩优秀，一名编程或数学软件应用能力强，一名**写作能力强的队员；
2）同队学生之间尽可能相处融洽，其中一名学生适合担任队长；
3）整体参赛水平最高。
附录一：2023年度参赛选手各项能力参数表。
二、问题分析。
该问题的主旨是力求得到一个参赛的最佳组合方案，所谓整体实力最强，其实可以理解为两点，第一点是高分人数多，第二点是低分人数少，余下的人能多集中在一个较高的水平。在能力参数表中，逻辑思维能力、编程能力、**写作能力可分为一大块，且是主要的一块，而三者中所占比重也略有不同需要进行权重的分析。领导能力和团队协作能力不宜和前三者放在一起，更适宜在前三者的基础上作为一个“放大”或“缩小的”指标，在得到具体方案后进行微调。
队长的选择应主要由领导能力决定，尽可能让每组存在一个领导力强的人作为队长，这样有利于团队实力的提高。
三、符号表示。
四、模型假设。
1、出的数据均为可供分析的可靠数据，不存在错误数据；
2、中提供队员的基本条件充分地反映了每个队的真实能力和水平；
3、队员的能力和水平在比赛中可以正常发挥，不受外界因素和环境的影响；
4、a、b、c、d四题难易程度相同，即对任何一题可用统一标准估计最终成绩；
5、假设每个成员都必须对团队量化评分做出贡献。
五、模型的建立与求解。
5.1层次分析法。
5.1.1层次结构图。
目标层选出整体最优组队方案。
准则层： 逻辑思维能力编程能力**写作能力团队协作领导能力。
方案层选手1 选手2 选手n
5.1.2成对比较
从中任取与，比较他们对于y贡献的大小，按照以下标度给/赋值：
=1：第i个因素与第j个因素的影响相同；
=3：第i个因素比第j个因素的影响稍强；
=5：第i个因素比第j个因素的影响强；
=7：第i个因素比第j个因素的影响明显强；
=9：第i个因素比第j个因素的影响绝对强；
注：2 4 6 8位于中间的值。
5.1.3建立逆对矩阵。
设思维能力、编程能力、**写作能力、团队协作能力、领导能力分别对应i/j=1,2,3；根据实际不妨建立逆对矩阵如下：（其中思维能力取为学科成绩和智力水平分数的平均值）
a=5.1.3迭代。
初值= ；又有=a；为a的第n个分量之和；
可以证明，迭代的n维列向量序列{}收敛，记其极限为e，且记e=，则权系数可取： 。用matlab实现算法（具体程序见附录2），得到结果如下：
同时进行一致性检验：
其中<, 经检验，一致性可以接受。
从而建立初步量化指标。
其中分别为团队整体的逻辑思维能力、编程能力、**写作能力的评分，其中为简化模型，假设同一队三名队员的单项条件互不影响，而且具有互补性，即一个队的单项水平为其成员最高者的水平。
5.2“强弱互补”模型。
5.2.1分析。
在第一个模型中，我们最终的目的是使得逐步选出尽可能多的“优秀组队”因此是用动态规划模型解决最为方便。
在最佳组队决定方案中，每个队对目标层的权重一定不小于全体队员对目标层权重的几何平均值，否则其组队方案就不可能是最佳的。所以我们首先要求出全队30名队员对目标层权重的几何平均值：
1/72（k=1，2，3）
(,)假设3名队员。
x,y,z组合一队（x,y,z），将对决策目标的权重定为该队的技术水平指标，即v（x,y,z）=.此处m=（,其中3个分量分别为（x,y,z）对准则c层的权重。如果v（x,y,z），则对应的（x,y,z）就可能是一个组队，即视为达标线，则此模型的目的是使得达线组数最多；
5.2.2动态规划模型建立。
利用动态规划的方法，分决策过程为24个阶段，分步给出24个队的组队方案，每一个阶段确定一个队。
决策变量： =x,y,z）k (k=1,2,3,4,5,6,，24),即任取三名队员（x,y,z）所组成的一个组队方案。
状态变量： (k=1,2,3,4,5,6,，24)，即从第k（1≤k≤24）个到第24个组队的组队方案所包含的队员。
状态转移方程： (k=1,2,3,4,5,6,，24)
允许决策集合： =k=1,2,3,4, ，24)
指标函数： （表示决策（一个组队）关于状态的技术水平指标，即（ ，
最优值函数：（）表示在状态下确定的k（1≤k≤24）个组队的技术水平指标之和的最大值。则有逆序解法的基本方程：
fk（s k）=maxk=1,2,3,4,5,6,，24
）=max vk (s k ，xk)当 = sn
其中s k+1 =s k -xk k=1,2,3,4,5,6,，24
5.2.3成员的预先分类处理。
其中为了保证求解的正确性（保证每个人的指标算其最强项），可对**先进行处理，把成员按特长分为三项，其他两项分数记0，然后再利用lingo进行求解，可得最终组队方案如下（程序见附录2）
分类方法：通过excel通过对数据的升降序排列，合理将成员按特长分为三项。
分类步骤：（1）将72名成员按主要关键字权重逻辑降序 ，次要关键字权重编程升序，次要关键字权重写作升序，进行排序。首先选出权重逻辑前24的成员，此时若有分数还有与第24 名相同的，则权重编程和权重写作的升序排列，保证了在筛选出权重逻辑前24名的同时保留了权重编程和权重写作相对较高的成员。
（2）从**中剔除筛选出的权重逻辑前24，同时将剩下的48名成员按权重编程降序，权重写作升序进行排序，然后筛选出权重编程前24的成员，同上若此时还有分数与第24名相同的，则权重写作的升序排列，保证了在筛选出权重编程前24的同时保留了权重写作相对较高的成员。
（3）则剩余的24名成员作为权重写作特长的成员。
初步分类得到**如下。
不难看出逻辑思维能力相差不多，因此就编程能力与**写作能力对末尾9位分数低于几何平均值的进行微调（程序见附录二）
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