数学建模课设

摘要。汽车刹车距离。

1.问题提出。

司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到车完全停住，汽车行驶的距离称为刹车距离，车速越快，刹车距离越长，请问刹车距离与车速之间具有怎样的数量关系？

2.问题分析。

问题要求建立刹车距离与车速之间的数量关系，一方面车速是刹车距离的主要影响因素，车速越快，刹车距离越长；另一方面，还有很多其他的因素会影响刹车距离，包括车型、车重、刹车系统的机0械状况、轮胎类型的状况、路面类型的状况、天气的状况、驾驶员的操作技术和身体状况等。若果所有可能的因素都考虑到，就无法建立车速与刹车距离之间的数量关系，所以需要对问题提出合理的简化假设，使得问题可以仅仅考虑车速对刹车距离的影响，从而建立刹车距离与车速之间的函数关系。

需要提出哪几条合理的简化假设？

可以假设车型、轮胎类型、路面条件都相同；假设汽车没有超载；假设刹车系统的机械状况、轮胎状况、天气状况以及驾驶员状况都良好；假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向。

这些假设都是为了使得问题可以仅仅考虑车速对刹车距离的影响，这些假设是初步的和粗糙的，在下面的建立数学模型的过程中，还可能随着问题的深入理解而提出新的假设，或者修改原有的假设。至于假设的合理性，一方面可以根据题意和常识来判断，另一方面，还可以等模型建立和求解完毕以后，对其进行检验分析，首先，仔细分析刹车的过程，发现刹车决定经历两个阶段。

在第一阶段，司机意识到危险，做出刹车决定，并踩下刹车踏板使刹车系统开始起作用，这一瞬间可以称为“反应时间”，非常短暂，但是对于高速行驶的汽车而言，汽车在这一瞬间行驶的距离却不容忽略，汽车在反应时间行驶的距离称为“反应距离”。

在第二阶段，从刹车踏板被踩下、刹车系统开始起作用，到汽车完全停住，这是汽车的制动过程，汽车在制动过程“行驶”（轮胎滑动摩擦地面）的距离为“制动距离”。

根据以上分析，得到刹车距离的初步的数量关系如下：

刹车距离=反应距离+制动距离（1.1）

引入以下符号，并说明单位：

车速（m/s）；

刹车距离（m）；

反应距离（m）；

反应时间（s）；

制动距离（m）；

于是用文字表达的数量关系式（1.1）可以用数学符号表示为。

其次，考虑反应距离的子模型，根据常识，可以假设汽车在反应的时间内车速没有改变，也就是说，在此瞬间汽车做匀速直线运动。

反应时间取决于驾驶员状况和汽车制动系统的灵敏性，司机驾驶员的状况包含反应、警觉、视力等，因人而异，可以考虑平均值，即视为常数；在正常情况下，汽车制动系统的灵敏性都非常的好，与驾驶员状况相比，可以忽略，所以再多增加一条简化假设；驾驶员每一次刹车的反应时间都一样长，于是反应距离的子模型为。

再次，考虑制动距离的子模型，在制动过程，汽车的轮胎滑动摩擦地面，车速从迅速减慢，直到车速变为0，汽车完全停住，用物理的语言来描述，即汽车制动力使汽车做减速运动，汽车制动力做导致汽车功能的损失，引入以下符号：

汽车制动减速度（m/s2）；

汽车制动力（n）；

汽车质量（kg）；

为了建立简单的数学模型，可以假设汽车在制动过程中做匀减速直线运动，减速度为是常数，根据牛顿第二定律有。

根据功能定理，汽车制动力所做的功等于汽车动能的损失，即。

所以。令，得到制动的距离的子模型为。

最后，由（1.2）~（1.4）式，刹车距离的数学模型为。

即刹车距离与车速之间的二次函数关系。

到目前为止，所思考的都限于同一款车型，究竟模型（1.5）的两个系数会不会随着车型而改变？回顾以上的建模过程，不难发现，反应距离的子模型的系数是驾驶员的反应时间，与车型无关；而制动距离的子模型的只与制动过程的的减速度有关系，那么减速度与车型有关吗？

其实按照汽车的设计原则，所有车型在额定载荷范围内紧急刹车的减速度都相差无几，也就是说，刹车系统的最大制动力被设计成车重成正比，所以系数也可以被认为是车型无关的，换言之，只要对一款车型测试其在不同车速下的刹车距离（当然要尽量保持道路、天气、驾驶员、载重等条件一样），然后用测试数据拟合出模型的系数和，那么所得到的刹车距离与车速之间的二次函数经验公式，在相同的道路、天气和驾驶员等条件下，对所有即没有超载，也没有故障的汽车都是有参考作用的。

3.建立模型。

本小节给出建立汽车刹车距离的数学模型的规范表达。

表2..2.1是为建立刹车距离的数学模型而引入的数学符号说明。

表2.2.1 符号说明。

提出如下的简化假设：

1）假设道路、天气和驾驶员等条件相同，汽车没有超载，也没有故障；

2）假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向；

3）假设驾驶员的反映时间为常数，汽车在反应时间内做匀速直线运动；

4）假设汽车在制动的过程做匀减速直线运动，减速度为常数，制动力所做的功等于汽车动能的损失；

5）假设刹车距离等于反应距离加速制距离。

根据假设（3），立即得到（2.2.3）；

根据牛顿第二定律假设（4）有。

所以有（2.2.4）；

其中。最后，根据假设（5）有（2.2.5）

2.2.5）式就是汽车刹车距离的数学模型。

4.模型检验。

利用由美国提供的刹车距离数据（见表2.2）来进行模型的检验，，表2.2的数据使用英制单位mph（miles per hour，英里/小时）和ft（英尺），换算率为1mph=0.

44704m/s，1ft=0.3048m。

表2.2 反应距离和制动距离的实际观测值。

范围包括了美国公路局所测试中85%的观测结果。

在表2.2的数据中，反应距离是和车速成正比的，很明显，这样的数据是基于反应距离子模型的，其中平均反应时间恰好为秒，所以没有必要用表2.2中反应距离的数据赖来检验反应距离子模型。

而表2.2的制动距离数据则有变化范围（包括美国公路的局所做测试中85%的观测结果）以及平均值，由于刹车距离是反应距离和制动距离之和，所以刹车距离也有变化范围和平均值，应该用表2.2中的制动距离数据来检测制动距离子模型，从而达到检验刹车距离的数学模型的目的。

首先，注意到子模型意味着与成二次函数关系，而与成正比关系。因此，绘制表2.2中的制动距离数据（包括最小值、平均值和最大值）对和的散点图（见图2.2），程序如下：

> v=(20:5:80).*0.44704;

> v2=v.*v;

> d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334

> d2=0.3048.*d2;

> subplot(2,2,1),plot([v;v;v],d2,'o-k','markersize',2)

title('检验二次函数关系'),xlabel('车速v（m/s）')

ylabel('制动距离的最小值、平均值和最大值（m）')

subplot(2,1,2),plot([v2;v2;v2],d2,'o-k','markersize',2)

title('检验正比例关系'),xlabel('车速的平方v^（m^2/s^2）')

图 2.2说明绘图命令利用了matlab函数plot的语法格式，即如果x和y是同型矩阵（不止一行），则plot(x,y)返回y的列向量对应x的列向量的多重线性图，另外，通过将markersize设置为2，使得标示符的大小更符合需要。

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