习题课。
一、初等模型与常用的建模方法。
1. 奇偶校验法。
例1 在如图所示的方格纸上已填写1，9，8，6四个数字，问能否在余下的方格内各填入一整数，使得方格区上的每一行每一列都构成等差数列？
解考察左下角格中所填之数，设为，由于所填方格中都为整数，且。
这就产生了矛盾的结果，故所要求的填法不存在。
例2 利用奇偶校验法证明，空间中不存在“有奇数个面，且每个面又都有奇数条边的多面体”.
证用反证法。 假设存在具有题设性质的多面体，它有个面数，各个面分别有条边，这里，均为奇数，从而必为奇数。
另一方面，在多面体中，每两个相邻的面都有一条公共边，即多面体的棱，而且每一条棱又都为两个面所共有，因此在求得时，每一条棱都被重复地计算了一次，所以又应为偶数，于是产生了矛盾。 故由奇偶校验法知根本不存在具有奇数个面，且每个面又都有奇数条棱的多面体。
例3 已知多项式的系数都是整数，且为奇数。 证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
证用反证法。
假设满足条件“为奇数”的多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，则必有。
其中都是整数。
令代入上式，得。
令代入上式，得。
由条件“为奇数”知与必皆为奇数，进而知（2）式左端为奇数。
另一方面，由(1)及为奇数立知必为奇数，因而（2）右端为偶数，于是产生了矛盾。 因此由奇偶校验法知满足条件“为奇数”的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
2. 席位分配问题。
例4 比利时的d’hondt曾提出过如下一种席位分配方案：将甲、乙、丙三个系的人数都用1,2,3…去除，然后将商从大到小排列，取前21个最大的商数考虑，规定在这21个商中，各系占有几个就分配给几个席位。试通过数学建模**这种方法的合理性。
解以教材中甲、乙、丙三个系人数分别为103,63,34为例：
系别人数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
甲 103 103 51.5 34.33 25.
75 20.6 17.17 14.
71 12.875 11.44 10.
3 9.36 8.58
乙 63 63 31.5 21 15.75 12.6 10.5 9 7.875 7 6.3
丙 34 34 17 11.33 8.5 6.8
从表中可以看出，按照比利时方法，在21个席位中甲占11席、乙占7席、丙占3席。
说明：（1）此席位分配方案明显不合理；
（2）此方法与q值方法比较有明显的缺陷，特别是当上述商值相等或十分接近时难以排序。
例5 某系共有1000名学生，其中235人住在a楼，333人住在b楼，432人住在c楼。现要组成一个10人委员会，试用q值方法与d’hondt方法分别给出分配方案。
解记各楼人数分别为总人数人，席位。
方法一（q值方法） 先按百分数有。
取整后得第一次分配对第10个席位，按q值计算。
由于最大，所以第10个席位应分配给c楼。
因此，a, b，c的分配席位分别为2，3，5， 共10席。
方法二（d’hondt方法）
a 235 235117.5 78.33 58.75 47 39.17 33.57
b 333 333166.5 111 83.25 66.6 55.6
c 432 432 216 144 108 86.4 72
因此， a, b，c的分配席位分别为2，3，5，与q值法的结果相同。
3. 分析法建模。
例6 将四条腿长相等的长方形桌子放在起伏不平的地面上，如果地面是数学上的光滑曲面，问怎样才能将桌子放平稳？
解假定椅子中心不动， 四条腿的着地点a,b,c,d如图建立坐标系。
将椅子如图旋转到。 所谓着地，就是椅子与地面的距离等于零。 由于椅子位置不同， 椅脚与地面距离不同， 因而这个距离为的函数， 记
因地面光滑， 连续； 又椅子在任何位置总有三条腿同时“着地”, 故至少有一个为0, 从而。
不妨设，于是问题抽象成如下的数学问题：
假设是的连续函数，，且，求证存在，使得。
证令， 则
将椅子旋转， 即将ab与cd互换，由知。
所以。由于在上连续，且， 故据连续函数的介值定理知， 使得， 即。
又由，故得。
表明在方向上，四条腿一定能同时“着地”.
例7 某人早上8时从山下以旅店出发沿一条路径上山，中午12点到达时到达山顶，下午游览并在山顶留宿，次日早上8时沿同一路径下山，于中午12时返回旅店。问此人能否在两天中的同一时刻经过途中的同一地点，为什么？若下山时，此人11时回到旅店，问结论又如何？
解 （1）设从山下旅店到山顶这条路径的总路程为。如图建立以时间为横坐标，以沿上山路线从山下旅店到山顶的路程为纵坐标的直角坐标系。
设第一天的行程为。
则是单调不降的连续函数，满足
设第二天的行程为。
则是单调不增的连续函数，满足。
令。则在上连续。由于。
故根据连续函数的介值定理知存在， 使得。
即 表明在时刻经过途中的同一地点。
2）若下山时，此人11时回到旅店，只要前一天此人在上午11点之前从旅店出发上山，类似的分析同样可以得出：能在同一时刻经过途中同一地点。
例8 小明在妹妹的生日晚会上，买回一个边界形状怪异的蛋糕。妹妹指着蛋糕上的一点，要哥哥过此点将蛋糕切成一人一半，能办到吗？
解过点p任作一条直线，将曲线所围图形分为两部分，其面积分别为。
若，则即为所求的直线；
若，不妨设， 此时记为与x轴正向之夹角。下面对此种情形证明之。
以p为旋转中心， 将按逆时针方向旋转， 显然面积连续地依赖于角变化， 分别记之为，如图所示。
设。将直线按逆时针方向旋转，易知在上连续，且在端点异号：
故据连续函数的介值定理知，必存在一点，使得。
即 于是过p点作直线，使之与x轴正向的夹角成，则该直线即为所求。
例9 一盏灯挂在一米见方的书桌正上方。已知受光面上的照度与光线入射角的余弦值成正比，与到光源距离的平方成反比。问此灯应挂在离桌面多高处，才能使。
1）桌子四个角的照明度最大？
2）桌子四边的中点处的照明度最大？又如果是圆形桌子，灯应挂在多高处才能使圆桌边缘处照明度最大？
解如图，设o为桌子中心点，a为桌上任一点，距离中心点o为，为灯的高度，则灯到受光点a的距离。
由题设a点的照度为，
其中为比例常数。 而，所以，
对求导，得。
令，得为驻点。 由问题的实际含义知，肯定是的最大值点，于是。
当桌子一米见方时。
1) 在四个角处有，代入可得，即灯应挂在离桌面处；
2) 在四边的中点处有代入得处；
进一步， 如果为半径是的圆桌，则灯应挂在离桌面处可使圆桌边缘的照度最大。
例10 某吊车的身高为1.5米，吊臂长15米。现要把一个6米宽、2米高的屋架，水平地吊到6米高的柱子上，问能否吊得上去？
解如图所示，设车身高为，吊臂长为，与水平线的夹角为。屋架的宽度为，高为，其下边沿离地面的距离为，则问题转化为：在已知的条件下，为何只时可使达到最大？
易知使达到最大值的应使屋架与吊臂正好相接触f，此时有。
所以。这就是解决问题的数学模型。
由于，令， 得，所以有唯一驻点。由问题的实际含义知， 肯定是的最大值点，于是。
所以当柱子高度时，屋架可以吊得上去；当时，不能将屋架吊到柱子上去。
特别地，取，则。
由于，所以可以将屋架吊到柱子上去。
例11 某公司专门生产储藏用的容器，合同要求该公司制造一种敞口（即无盖）的长方体容器，容器恰好为v. 如果用作容器四壁的材料为元/，用作容器底面的材料**为元/，问制造怎样的容器才能使得总费用最省？
解法一设长方体容器的长、宽、高分别为，制造该容器所需材料的总费用为， 则有。
记。于是可以建立该问题的数学模型。
运用lagrange乘子法求解，引入lagrange函数。
令。由得。 代入（4）得。
由得。于是得。
结果表明，当长方体容器的长与宽相等，即。
而高为。时，制造该容器所需材料的总费用最省，其值为。
解法二如解法一所设。运用算术几何平均不等式，有。
等号成立当且仅当。
由此解得。代入已知条件中， 有，解得。
此时。4. 线性代数法建模。
例12 某种遗传疾病属于常染色体遗传模型。记正常基因为a，不正常基因为，其后代和分别表示正常人、隐性患者和显性患者。为防止出现隐性患者，要求正常人或隐性患者必须与正常人结合，试建立这种遗传模型，并讨论经若干代后，正常人与隐性患者的分布趋势。
解记分别表示第代的遗传中基因型为aa，aa的后代占后代总数的百分率，且记
为第代遗传的基因型分布，这里
表示人的基因型的初始分布，满足。
易知此时第代与第代之间的遗传关系为
对于aa型，有
对于aa型，有。
显然有。由前面的假设， 有。
因此，第代遗传的基因分布的数学模型。
记。则该数学模型为。
它表明历代遗传基因型分布可由初始分布与矩阵m确定。
容易算得。于是。
注意到，于是。
显然当时，有。
即在极限情况下，遗传后代基本上均为正常人aa型。
习题课 讲解
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