1、靠近某河流有两个化工厂（参见附图），流经第一化工厂的河流流量为每天500，在两个工厂之间有一条流量为200万的支流。第一化工厂每天排放有某种优化物质的工业污水2万，第二化工厂每天排放该污水1.4万。
从第一化工厂的出来的污水在流至第二化工厂的过程中，有20%可自然净化。根据环保要求，河流中的污水含量不应大于0.2%。
这两个工厂的都需要各自处理一部分工业污水。第一化工厂的处理成本是1000元/万，第二化工厂的为800元/万。现在要问满足环保的条件下，每厂各应处理多少工业污水，才能使两个工厂的总的污水处理费用最少？
附图工厂1工厂2
500万 200万。
解：这个问题可用数学模型来描述。设第一化工厂和第二化工厂的污水处理量分别为每天和万，从第一化工厂到第二化工厂之间，河流中的工业污水含量不要大于0.2%，由此可得近似关系式：
流经第二化工厂后，河流中的工业污水含量人要不大于0.2%，所以有：
由于每个工厂每天处理污水的量不会大于每天的排放量，故有：
这个问题的目标是要求两个工厂处理污水的总费用最小。即：最小，综合上述，这个环保问题可用数学模型表示为：（上式整理可得）
目标函数：
约束条件：
3、用**法求解下面线性规划。
min z =－3x1+2x2
解：可行解域为abcda，最优解为b点。
由方程组解出x1=11，x2=0
x*==11，0）t
min z =－3×11+2×0=－33
4、用单纯型法求解下面线性规划问题的解。
max z= 3x1+3x2+4x3
解：加入松弛变量x4，x5，得到等效的标准模型：
max z= 3x1+3x2+4x3+0 x4+0 x5
列表计算如下：
x*=（10，0，2，0，0）t ∴max z =3×10+4×2 =38
5、用大m法求解如下线性规划模型：
min z =5x1＋2x2＋4x3
解：用大m法，先化为等效的标准模型：
max z/ =5x1－2x2－4x3
增加人工变量x6、x7，得到：
max z/ =5x1－2x2－4x3－mx6－mx7
大m法单纯形表求解过程如下：
x*=（2，0，0，0）t
最优目标函数值min z =－max z/ =
6、写出下列线性绘画问题的对偶问题。
答案： b)
7、已知线性规划问题如下：
max z=
已知该问题的解为（2，4）利用对偶性质写出对偶问题的最优解。
解：该问题的对偶问题为：
将x=（2，4）t代入原问题可知：〉1 为严格不等式，所以。
由对偶问题性质可知：
解之得： 所以y=（1/5，0，1）tmin z=14
约束条件两边同乘(-1)
列单纯形表。
9、线性规划问题。
用单纯形法求解得最终单纯形表如下表所示。
试说明分别发生如下变化时，新的最优解是什么？
1）目标函数变为；
2）约束条件右端项由变为；
3）增添一个新的约束。
解：（1）因为所有的检验数均小于等于零。故最优解为。
2）因为。所以。
因为所有的检验数均小于等于零，故最优解为。
3）由于，所以原问题的最优解不是该问题的最优解。
在约束条件左右两端同时乘以“-1”，并加上松弛变量，得到。
因为所有的检验数均小于等于零，故最优解为。
3、下列是将产品从三个产地运往四个销地的运输费用表。
要求：⑴用最小费用法建立运输计划的初始方案；
用位势法做最优解检验；
求最优解和最优方案的运费。
解：⑴先用最小费用法（最小元素法）求此问题的初始基本可行解：
最小费用法初始方案：
初始方案总运费z=9×30+6×20+3×40+7×20+6×40+9×10=980
按题目要求用位势法，作最优解检验：
所有检验数如下：
再用闭回路法求最优解和最优方案的运费，先检验：
所有检验数≤0该方案已是最优方案，不需要再调整。
最优方案的运费z=9×30+6×20+3×40+7×20+6×40+9×10=980
将原整数规划问题称为原问题a0，不考虑整数条件的伴随规划称为问题b0，用单纯形法求解b0，得最优单纯形表。
原问题的解是多少？
解： x1=3/4,x2=7/4均不满足整数条件。
选x1，则含x1的约束方程为：
将所选的约束方程中非基变量的系数及常数项进行拆分处理。 7/4=1+3/4 -5/2=-3+1/2 1/4=0+1/4
求割平面方程。
将割平面方程加到伴随规划的最终单纯形表中，用对偶单纯形法继续求解。
x*=(1,1)’ z*=2
运筹学习题
34 产地个数为m销地个数为n的平衡运输问题的系数矩阵为a，则有r a m n 1。35 指派问题求最大值时，是将目标函数乘以 1 化为求最小值，再用匈牙利法求解。36 割集中弧的流量之和称为割量。37 最小割集等于最大流量。38 求最小树可用破圈法。39 在最短路问题中，发点到收点的最短路径是唯一...
运筹学习题
11.判断下列说法是否正确 a 法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的 b 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大 c p1 11.判断下列说法是否正确 a 法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的 ...
运筹学习题
专业班号学号姓名 1.1用 法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解 无穷多最优解 无界解还是无可行解？专业班号学号姓名 1.4分别用 法和单纯形法求解下列线性规划，并指出单纯形法迭代的每一步相当于图形上的哪一个顶点？专业班号学号姓名 2.3写出下列线性规划的对偶问题。2.7已知线性规划问...