课程：动力学系统建模。
院系：机械工程学院。
物体的振动在大多数情况下对物体是有害的，特别是当物体在外激励的作用下发生共振时，往往会导致物体的疲劳破坏，有时会带来很严重的后果。为了防止共振发生，进而采取隔振和减振的措施，提前估计出物体的各阶固有频率的大致范围以及各阶主振型能带来很好的效果。在工程上求固有频率的方法有很多，比较常用的方法是锤击法。
它具有激振设备简单，不需要昂贵的激振设备，所测频带也较宽，时间也较快。但是对于较大的结构或是尚未有成品的结构往往不够理想。这时就可以采用ansys有限元分析法对物体进行模态分析。
对于尚未有成品的物体，仅仅有设计模型、所用材料特性以及近似的工况负载就可以较为准确的估计出其前较低阶的固有频率。由于大部分工程频率都不是很高，并且高阶的振动在稳态响应时易被阻尼所消耗，因而可以忽略高阶固有频率及高阶振型对响应的影响，仅用低阶进行处理就能够得到比较精确的结果，因而研究低阶固有频率和低阶振型有很重要的意义。
ansys的模态分析主要用于确定结构或机器部件的振动特性，同时也是其它动力学分析（如谐响应分析、瞬态动力学分析及谱分析等）的基础，其过程由4个主要步骤组成：建模、加载及求解、扩展模态以及后处理。下面以悬臂梁为例计算其前五阶固有频率的理论值和ansys分析所得值进行比较。
所选悬臂梁的参数以及梁的形状如下所示：
图1.梁的形状及界面形状。
参数：弹性模量=5000mpa，密度，长度，截面宽度，截面高度为，截面惯性矩为，泊松比为0.3
1.理论计算。
有振动学知识知，匀质等截面欧拉梁的横向振动方程为：
式中为梁的抗弯强度，为梁的密度，为梁的横截面积。
假设梁的主振动为：
其中为主振型。将（2）式代入（1）式中可得：
其中。悬臂梁的边界条件为：
将（5）式代入（4）式得：
将（6）式代入（4）式得：
若、不同时为0，则需满足：
即。得：，当时，近似可取。
则固有频率为。
得前五阶固有频率为：
表1.悬臂梁前五阶固有频率理论值。
令，且。得：
用matlab软件绘出式（10）的图形如下图：
图2.悬臂梁前五阶主振型理论计算示意图。
2.用ansys模态分析方法求该悬臂梁的前5阶固有频率及前5阶主振型。
2.1建立模型。
1）选择问题所属领域。
命令：main menu >preference >structural
2）定义单元类型。
beam3单元是一种可承受拉、压、弯作用的单轴单元。单元的每个节点有3个自由度，即沿方向的线位移及绕轴的角位移。所以，悬臂梁单元类型选用beam3单元。
命令：main menu >preprocessor >element type >add/edit/delete >add，在弹出的library of element type对话框中选择structural beam|2d elastic 3
3）定义实常数。
命令：main menu >preprocessor >real constant >add，在弹出的real constant for beam3窗口中输入截面积、惯性矩和梁高度。
4）定义截面属性。
命令：main menu >preprocessor >section >beam >common sections，在弹出的beam tool窗口中选择梁截面形状，并输入梁高度和宽度。
5）定义材料类型。
选择线弹性模型，命令：main menu >preprocessor >material props >material models >structural >linear >elastic >isotropic，在弹出的linear isotropic material properties for material number 1中输入梁的弹性模量和泊松比在点击density，在弹出的density for material number 1窗口中输入密度。
6）几何建模。
命令：main menu >preprocessor >modeling >create >keypoints >in active cs，在弹出的create keypoints in active coordinate system中建立两个关键点1（0,0,0）和2（0.2,0,0），用两个关键点建一条线，命令：
main menu >preprocessor >modeling >create >lines >lines >
straight line，在弹出的creat straight line窗口中输入1,2建立线。
7）划分网格。
在网格划分时，首先要考虑的是模型的网格数量。网格数量的多少将直接影响计算精度和计算规模的大小。一般来说，网格数量增加，计算梢度会有所提高，但同时计算规模也会增加。
网格较少时增加网格数量可以使计算精度明显提高，而计算时间不会有大的增加。当网格数量增加到一定程度后，再继续增加网格时精度提高甚微，而计算时间却有大幅度的增加，综合考虑后，选取数目为20
命令：main menu >preprocessor >meshing >size cntrls >manualsize >lines>picked lines，在弹出的element size on picked lines窗口中输入划分单元数20，命令：main menu >
preprocessor >meshing >mesh >lines
2.2加载并求解。
1）定义分析类型以及分析选项。
ansys中提供多种的模态分析方法，其中一般采用block lanczos方法，该方法对建模精度要求较低，速度快，且对内存的要求较低。subspace法用于大型结构，仅求前几个频率，需要的空间和时间较多。powerdynamics法用于非常大的结构，质量阵m和刚度阵对称，和子空间迭代法类似，但收敛更快。
reduced法为常用方法，速度较快，但所求频率较不准确。unsymmetric法用于m、k为不对称阵时（如转子系统），特征值为复数。damped法用于具有阻尼现象时，特征值为复数，虚部表示系统的自然频率，实部表示系统的稳定性。
经以上分析，在此选用block lanczos方法。
命令：main menu >solution >analysis type >new analysis,选择modal。再点击analysis options，选择block lanczos方法进行模态分析，并设置分析模态阶数为5以及扩展模态阶数为5。
2）定义约束。
命令：main menu >solution >define loads >apply >structural >displacement >on keypoints,在弹出的窗口中将固定端的所有自由度的值设为0。
3）求解计算。
命令：main menu >solution >slove >current ls
4）退出求解器。
命令：main menu >finish
2.3扩展模态。
如果需要在post1后处理器中观察求解结果，就必须首先扩展振型，即将阵型写入结果文件。
1） 激活扩展处理及相关选项。
命令：main menu >solution >load step opts >expansionpass >single expand >expand modes，在弹出的窗口中输入5。
2） 指定载荷步选项。
命令：main menu >solution >load step opts >output ctrls >db/result file，在弹出的窗口中选择all items和every substep
3）开始扩展处理。
命令：main menu >solution >solve >current ls
4） 退出求解器。
命令：main menu >finish
2.4后处理观察结果。
在处理结果中可得该悬臂梁前五阶固有频率及前五阶振型如下所示：
图1.悬臂梁的前五阶固有频率及前五阶主振型。
经比较可知：悬臂梁的理论值与用ansys软件算出的值有差异，但是差异不大，而理论计算的主振型与用ansys计算的主振型形状相似，因为主振型只表示梁上各质点振动的同步情况，其振幅大小可以人为指定，故形状相似即可满足要求。
学习ansys解题的心得：在理论计算过程中，直接按式（9）计算固有频率的结果与用ansys计算的结果之间相差大约6倍左右，是由于直接用式（9）计算出的是悬臂梁的固有圆频率，即通常的，单位是，而ansys计算出的频率是加载频率，即通常所指的，单位是，两者相差倍数为，用式（9）计算的频率除以即可。在ansys中输入了材料弹性模量，还可能材料不是各向同性的，所以要输入泊松比，在理论计算时一般接触的都是各向同性材料，而且理论计算不考虑其轴向变形（与横向变形向垂直）。
在ansys中输入了悬臂梁的宽和高，还需要输入惯性矩，而理论计算时由于一般假设材料是匀质的，因此可以没有惯性矩。用ansys作悬臂梁的模态分析计算其固有频率时，不需要再加均布力，因为模态分析就是结构的自振特性分析，与外载荷无关，只要输入密度即可。
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