重庆交通大学。
学生实验报告。
实验课程名称数学建模b
开课实验室数学实验室。
学院河海学院 10 级水利水电工程专业班 4班。
学生姓名郑阳兵学号 10150411
开课时间 2011 至 2012 学年第 2 学期。
人、猫、鸡、米安全过河问题。
一：摘要。人携带猫、鸡、米过河，人最多只能带三者之一，而当人不在时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个过河次数尽量少的过河方案。
二：问题重述。
人携带猫、鸡、米过河，人最多只能带三者之一，而当人不在时猫要吃鸡、鸡要吃米。
三：模型假设。
只考虑问题所述条件，不考虑外界其他影响。
四：符号说明。
i=1人。i=2猫。
i=3鸡。i=4米。
xi=1在此岸。
xi=0在对岸。
s=（x1，x2，x3，x4此岸状态。
s=（1-x1,1-x2,1-x3,1-x4对岸状态。
d=（u1，u2，u3，u4乘船方案。
ui=1i在船上时。
ui=0i不在船上时。
sk第k次渡河前此岸的状态。
dk第k次渡河的决策。
五：问题分析。
人、猫、鸡、米安全过河问题是一个多不决策的过程。每一步的决策都需要保证能满足题设条件，即人猫鸡米能够安全过河。因此，在保证安全的前提下，实现过河的最优化，即猫、鸡或者鸡米在一起时人也要在场，方案中用状态变量s表示某一岸的状态，决策变量d表示乘船方案，可以得到s与d的关系。
问题转化是要在允许变化的范围内，确定每一步的决策关系，达到渡河的最优目标。
六：模型的建立与求解。
1、 模型的建立：
i=1,2,3,4，分别表示人、猫、鸡、米，xi=1表示人在此岸，否则记为xi=0，s=（x1，x2，x3，x4,）表示此岸的状态。s的反状态为s=（1-x1,1-x2,1-x3,1-x4）
可能的状态集合是。
s=（（1,1,1,1），（1,1,1,0），（1,1,0,1），（1,0,1,0））
还包括他们的五个反状态。
决策为乘船方案，记为d=（u1，u2，u3，u4），当i在船上时记ui=1，否则为ui=0，可能的决策集合是。
d=（（1,1,0,0），（1,0,1,0,），1,0,0,1），（1,0,0,0））
记第k次渡河前此岸的状态为sk，第k次渡河的决策为dk，可得则状态转移律为。
sk+1=sk+（-1）kdk
设计安全过河方案归结于求决策序列d1，d2，……dn∈d，使状态sk∈s按状态转移律由初始状态s1=（1,1,1,1）经过n步达到sn+1=（0,0,0,0）。
ii、模型的求解：
从而我们得到了一个可行的方案：
因此，该方案的最优方案是：1、人先带鸡过河，然后人回来，把米带过河，然后再把鸡带过河，再把猫带过河，最后再把鸡带过去。
七：评价与推广。
1、 优点：
1 模型简单，便于理解；
2 建立了合理科学的转移模型；
3 有很好的通用性和推广性；
2、 缺点：
1 没有使用计算软件，运算繁琐；
2 在问题复杂时，不便于推广；
八：参考文献。
1、姜起源，谢金星，叶俊。数学建模，第三版，北京：高等教育出版社，2003
钢管下料问题。
摘要。生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小这种工艺过程，称为原料下料问题。按照进一步的工艺要求，确定下料方案，使用料最省，或利润最大是典型的优化问题。
针对钢管下料问题，我们采用数学中的线性规划模型。对模型进行了合理的理论证明和推导，然后借助于解决线性规划的软件，对题目所提供的数据进行计算，从而得出最优解。
1、问题的提出。
某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割**．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm，28根315 mm，21根350 mm和30根455 mm的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm，为了使总费用最小，应该如何下料？
2、问题的分析。
首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使加工的总费用最少。
3、基本假设。
假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化。不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行。
4、定义符号说明。
1）设每根钢管的**为a，为简化问题先不进行对a的计算。
2）四种不同的切割模式：、、
3）其对应的钢管数量分别为：、、非负整数）.
5、模型的建立。
由于不同的模式不能超过四种，可以用表示按照第种模式（=1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产290mm，315mm,,350mm和455mm的钢管数量分别为，，，非负整数）.
决策目标切割钢管总费用最小，目标为：
min=（1.1+1.2+1.3+1.4）a
为简化问题先不带入a
约束条件为满足客户。
每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm也不能小于1750mm.于是：
由于排列顺序无关紧要因此有。
又由于总根数不能少于。
也不能大于。
由于一根原钢管最多生产5根产品，所以有。
7、模型的求解。
将（1）~（13）构建的模型输入软件：
经计算绘制成**如下：
即取切割模式14根及切割模式5根，即可得到最优解：
min=（1411/10+512/10）a
=21.4a
6、结果分析、模型的评价与改进。
下料问题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型。对于下料规格不太多时，可以采用枚举出下料模式，对规格太多的，则适用于本模型。而从本模型中可以看出尽管切割模式x3、x4的余料最少，但是其成本比较高因而舍弃。
7、参考文献。
1】姜启源，谢金星，叶俊，数学模型(第三版)，清华大学出版社。
8、附件一。
model:
min=x1*1.1+x2*1.2+x3*1.3+x4*1.4;
r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;
r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;
r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;
r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=15;
290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850;
290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850;
290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850;
290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;
290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750;
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