本科生课程**。
课程名称数学建模。
开课时间 2013-2014第二学期。
学院数理与信息工程学院。
学科专业数学与应用数学。
学号12170321
姓名汤丽娅、蒋滢蓥、吴瑞
任课教师。成绩。
评阅教师。签名。
地板砖铺设建模。
摘要。工程中经常会遇到把某种固定形状的材料铺到某物体表面的问题。房屋的地板砖铺设就是其中的一种实例。
在本类题目中，我们需要考虑地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本等方面因素，目标是为了使成本达到最小化。
问题一是要建立地板砖铺设的总成本的模型，首先进行变量设定。设定变量时尽量简单准确，进而使得模型更加精简易懂。根据题目信息，考虑到影响地板砖铺设总费用的因素有地板砖的尺寸、**、切割费用、破损概率，我们对各个因素分别进行讨论，容易得到他们之间的等量关系。
其中用到的数学思想有分类讨论，使用零一变量等。综合上述讨论，可以得到铺设地板砖总费用关于各个变量之间的关系式。模型建立初步完成。
最终我们得出铺设地板砖所需的总费用w为： w=180+130+80+72+45+q+u，其中u为切割总费用且u=a*ln;其中a为常数。
问题二是要使用一种尺寸的地板砖进行铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。
从问题一中我已经得知，可以将模型的求解简化。我们将要铺设的区域进行划分，并分别求解各种板砖的铺设费用，得到费用最低的方案。在模型中，我们设总费用最低为目标函数，再根据地板砖铺设的长宽与矩形长宽的大小关系列出约束条件。
最后使用lingo软件求出最优解。最终我们分析得到800*800的尺寸砖块的铺设成本最低，为42757元，300*300尺寸的砖块利用率最高，为98.10%。
问题三是若允许使用多种尺寸的地板进行混合铺设，需要实现板砖的自动铺设，并计算出铺设各种尺寸板砖的块数、利用率和总费用。由于此时需要混合铺设，且各板砖的尺寸不一样，因此我们需要在第。
一、二问的基础上将过程进行修改。从问题一的过程及结论中我们可以得到，要优先考虑最大的尺寸。其余部分则用小尺寸，或者采取切割手段。
在此铺设方案的基础上，以铺设费用最小为目标函数，建立目标规划模型，对此模型进行求解得到各类地板砖的块数、利用率和总费用。由分析可知，混合铺设时*300的块数分别为，总费用为47596元。
该模型采用0-1变量，使用matlab软件和lingo软件，计算出铺设地板砖的最少费用。缺点是没有很好的利用切割后剩余的材料、模型较为理想化，现实存在的一些问题不能充分考虑、对于一些结构复杂及形状不规则的户型，区域划分较为困难，应用此模型求解时较为复杂、未考虑实际情况相爱多种类型地板砖混合铺设对美观效果的影响。
但是对于一些较规则的材料，可以利用此模型求出费用最少的铺设方法。
关键词：地板砖铺设模型最优解高斯函数
一、问题重述。
在地板砖的铺设问题中，需要考虑地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本等方面，目标是为了使成本最小化，同时需要考虑整块地板砖的使用比例，即切割地板砖数尽量少，达到美观效果。
设工程中能购买到的地板砖的尺寸、**、安装费用、破损概率等参数如表1所示。需要铺设的房屋地面结构如图1所示。假设每块地板砖只能沿着平行于边的方向切割，最多只能切割一次，且切割所用人工费用跟切割长度成正比。
1.请综合考虑影响地板砖铺设成本的因素，建立计算地板砖铺设总成本的模型。
2.若仅使用一种尺寸的地板砖进行铺设，请设计一种算法进行地板砖的自动铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。
3.若允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，又如何实现地板砖的自动铺设，并计算铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。
4.根据你的模型、算法和计算结果，为地板砖铺设提出一些意见和建议。
表1 各种地板砖相关参数。
图1户型结构图（单位mm）
二、模型的假设与符号说明。
2.1模型假设。
1.假设各尺寸板砖的材料、颜色一致；
2.假设破损的砖不可利用；
3.进行铺设面积计算时，忽略地板砖缝隙，墙厚等因素；
4.不考虑房间过门处对铺设面积的影响；
5.不考虑房间中尺寸不明墙壁对铺设面积的影响；
2.2符号说明。
三、模型的建立与求解。
3.1问题一。
3.11问题分析。
地板砖铺设的总成本包括铺设所需的地板砖费用、破损的地板砖费用和切割地板砖的成本，因此我们将对这三项分别进行计算，从而计算出总成本。基于所给的户型图结构过于复杂，我们将其分为13个矩形。(如图2)要使得地板铺设总费用最低，我们要考虑地板砖不同尺寸的选择，多种不同规格的地板砖如何组合进行铺设等多个因素。
虽然有点复杂，但是我们从表1可以看出，所有地板砖切割成本均为1元/200mm（例如题中800*800mm尺寸的切割成本是4元/块，故4/800=1/200）,但800*800的地板砖性价比最高，最小尺寸的地板砖性价比最低。所以在铺设地板时，我们需要尽可能地使用大尺寸板砖，而大尺寸的板砖无法覆盖的区域则采用小尺寸的板砖。
3.12模型建立⑴
1、假设在第i个房间需要ni块板砖，则可列出关于ni，ni，pi，mi的等式：
ni=ni+pi+mi1）
又因为在第i个房间中，未切割的板砖数为ni，则有关于ni，ai，bi的等式：
ni=ai*bi2）
引入变量0-1变量，，其中为矩形i的长，为矩形i的宽 =
由于房间纵向与横向边长不一定是大规格的整数倍，假设第i个房间所用地板砖被切割的块数为mi，则可得到关于mi，, 的等式：
mi=*ai+*bi3）
3.13模型的求解。
计算得第i个房间所用地板砖的总数为ni，但是由于每块板砖都有一定的规格，所以房间的边长不一定是最大规格地板砖的整数倍。由于在上面我们已经引入0-1变量，故不用进行复杂的分类讨论，可以直接求出房间所用地板砖的数量。
ni=ai*bi+*ai+*bi
出于表示方便考虑，对各种地板砖按照规格大小分别定义为a,b，c,d,e这五类。那么在i号房间所用各类地板砖数则为ai，bi，ci，di，ei，由此可得到关于地板砖总数的方程组：
用li表示第i个房间需要切割的地板砖的长度，则总共需要切割的长度为ln，即ln=l1+l2+l3+……l13；
则切割总费用u=a*ln;其中a为常数；
又因为地板砖本身的破损率，因此地板砖的实际购买数分别为： =an/92%],bn/93%],cn/94%],dn/95%],en/97%]
注：定义[x]为高斯函数（即取整）。
综上可得，铺设地板砖所需的总费用w为：
w=180+130+80+72+45+q+u；
3.2问题二。
3.21问题分析。
问题二是要使用一种尺寸的地板砖进行铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。
从问题一中我已经得知，可以将模型的求解简化。我们将要铺设的区域划分为13块矩形区域。在每块区域计算5种地板砖的铺设成本，再比较哪种地板砖的总费用最低。
在模型中，我们设总费用最低为目标函数，再根据地板砖铺设的长宽与矩形长宽的大小关系列出约束条件。最后将程序输入lingo软件求出最优解。根据表中的数据我们可以求出房间总面积为123165000，利用率为房间总面积除以地砖总面积的百分值。
3.22模型的建立。
上面的符号说明中已经表明ai为矩形i横向未切割地板砖的数量，bi为矩形i纵向未切割地板砖的数量。所以矩形i未切割地板砖的数量
ni=ai*bi
由问题一知矩形i切割地板砖的数量为。
mi=*ai+*bi
为第j种地板砖的破损率，则所以矩形i所需地板砖总共为。
第i个矩形切割总长度为。
li=*ai*xi+*bi*yi
切割200mm长度的地砖**为一元，所以第i个矩形切割费用为。
ui=li/200
第j种地板砖的单价为aj，故第i个矩形所需地板砖费用为。
wi=ni*aj
第i个房间的总费用为。
综上。铺设地板砖的总块数为。
铺设地板砖的利用率为。
铺设地板砖所用的总费用为。
可令目标函数为。
约束条件为。
矩形宽的约束。
bj*bi②bj*（bi+1）>yi
矩形长的约束：
bj*ai④bj*（ai+1）>xi
其中bj为第j中方形地板砖的边长）
对于不是方形的“600*300”规格的地板砖可以分为两种方法进行铺设，方法同上。
3.23问题二的模型求解。
对于计算一种地板砖铺设房间的问题，可将上述建立的模型通过lingo编程求得第i个房间用第j种地板砖所需的总费用。如下表来表示计算结果。表2
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