1.2解三角形应用举例第三课时。
一、教学目标。
1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题。
2、通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到**问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。
3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神。
二、教学重点、难点。
重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。
难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。
三、教学过程。
.课题导入。
创设情境]提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中，人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？
今天我们接着**这方面的测量问题。
.讲授新课。
范例讲解]例1、如图，一艘海轮从a出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛b,然后从b出发，沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛c.
如果下次航行直接从a出发到达c,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1,距离精确到0.
01n mile)
学生看图思考并讲述解题思路。
分析：首先根据三角形的内角和定理求出ac边所对的角abc，即可用余弦定理算出ac边，再根据正弦定理算出ac边和ab边的夹角cab。
解：在abc中， abc=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，ac= =113.15
根据正弦定理， =sincab = 0.3255,所以 cab =19.0, 75- cab =56.0
答：此船应该沿北偏东56.1的方向航行，需要航行113.15n mile
例2、在某点b处测得建筑物ae的顶端a的仰角为，沿be方向前进30m，至点c处测得顶端a的仰角为2，再继续前进10m至d点，测得顶端a的仰角为4，求的大小和建筑物ae的高。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在acd中，ac=bc=30， ad=dc=10， adc =180-4，因为 sin4=2sin2cos2
cos2=,得 2=3015， 在rtade中，ae=adsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设de= x，ae=h
在 rtace中，(10+ x) +h=30 在 rtade中，x+h=(10)
两式相减，得x=5,h=15 在 rtace中，tan2==
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为ae=8，由题意，得。
bac=， cad=2， ac = bc =30m , ad = cd =10m
在rtace中，sin2在rtade中，sin4=,
②① 得 cos2=,2=30,=15，ae=adsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
例3、某巡逻艇在a处发现北偏东45相距9海里的c处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型。
分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。
解：如图，设该巡逻艇沿ab方向经过x小时后在b处追上走私船，则cb=10x, ab=14x,ac=9,acb=+=
14x) =9+ (10x) -2910xcos
化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=- 舍去)
所以bc = 10x =15,ab =14x =21,又因为sinbac ==
bac =38,或bac =141（钝角不合题意，舍去），38+=83
答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船。
评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
.课堂练习。
课本第16页练习。
.课时小结。
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。
2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
.课后作业。
《习案》作业六。
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