2013春《数学分析选论》作业。
第1题：求， 其中s是边长为的正方体的外侧。
解利用高斯公式， 得。
第2题：解 (1) 注意到， ，故两个累次极限均为0，但是， 所以重极限不存在。
注意到， ,故两个累次极限不存在。 此外，因为， 所以。
第3题：解方程两边对求偏导，有， 因而。
方程两边对求偏导，有，因而。 故 .
第4题：第5题：
解利用极坐标变换。
第6题：解积分区域变换为球面坐标为，于是，第7题：
第8题：试用变量代换计算下面的积分。
1）, d由围成。
解 （1）令，则d变成，且积分成为（
2） 令，则d变成，且原积分成为。
第9题：判别下列表达式。是否某函数的全微分，若是的话，求出这个函数。
解设，因为，
则是某函数的全微分。且。
第10题：第11题：
解设，，则。
原式＝第12题：
解计算偏导数。
1). 当时，按通常方法求偏导数。
2). 当时，按定义求偏导数。
第13题：第14题：
解方程组两边对求偏导得到， 因此有。
方程组两边对求偏导得到， 因此
第15题：解：对原方程两端对求导，可得，从而知。
第16题：第17题：
设是由矩形区域，围成， 试求的值。
解由于则。第18题：
第19题：解：用球坐标计算积分，积分区域分解成；，其中。；，于是。
第20题：解由， ,可得， ,则 =
第21题：解段：直线方程，段：直线方程，段：直线方程，段：直线方程，于是有，0 .
第22题：第23题：
讨论下列函数的连续性。
解 （1）因为， 有。
因此，，即在（0，0）处连续。
2）因为 , 故在（0，0）处不连续。
第24题：第25题：
计算曲面积分， 其中为圆锥面被曲面所割下的部分。
解对于圆锥面，则 ，
在平面上投影区域为：，于是。
第26题：第27题：
证明对由于。
可知当时，便有 . 故第28题：
证明： 对于复合函数，由于
=+因此当时，，与无关，即在极坐标系里只是的函数。
第29题：证明由于对上面区域变换积分变量记号时，积分区域不变，因此。
第30题：证明。
它随而异，因此不存在。
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