高三数学寒假作业。
满分150分，考试时间120分钟。
姓名班级___学号。
一、填空题(每题4分，共56分)：
1、定义在r上的函数满足，，且时， 则。
2、数列中，若，（）则 .
3、已知向量，满足，，与的夹角为120°，则。
4、函数的值域是。
5、若关于x的方程恰有两个实根，则k的取值范围是___数形结合。
6、将全体正整数排成一个三角形数阵：按照右图排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为。
7、已知向量经过矩阵变换后得到向量，若向量与向量关于直线y=x对称，则a+b
8、椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是___
9、函数的最小正周期是
10、记不等式组所表示的平面区域为，若直线与公共点，则的取值范围是___
11、计算___
12、等差数列前9项的和等于前4项的和．若，则k
13、设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为。
14、设为正实数，现有下列命题：
若，则；若，则；
若，则；若，则。
其中的真命题有写出所有真命题的编号）
二、选择题（每题5分，共20分）：
15、函数的大致图像是( )
16、设常数，集合，若，则的取值范围为（ ）
ab) (cd)
17、已知空间不共面的四点a,b,c,d，则到这四点距离相等的平面有（ ）个。
a．4b．6c．7d．5
18、如图，已知、，从点p（1，0）射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是。
a． bcd．
三、解答题（本大题满分74分）：
19、（本题满分12分）在中，已知．
1）求证：；
2）若求a的值．
20、（本题满分14分）如图，某校有一块形如直角三角形的空地，其中为直角，长米，长米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。
21、（本题满分14分）如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，aa1c1c是边长为4的正方形，平面abc⊥平面aa1c1c,ab=3,bc=5.
ⅰ)求证：aa1⊥平面abc;
ⅱ)求二面角a1-bc1-b1的余弦值；
ⅲ)证明：**段bc1存在点d,使得ad⊥a1b,并求的值。
22、（本题满分16分）在等差数列中，，．
1）求数列的通项公式；
2）设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和．
23、（本题满分18分）已知圆，直线过点m(－m,0)且与圆相交于两点．
ⅰ）如果直线的斜率为，且，求的值；
ⅱ）设直线与轴交于点，如果，求直线的斜率．
试题答案。1、答案：
2答案： 3、答案：
4、答案：5、答案：∪
6、答案：7、答案：1
8、答案：
9、【答案】
解析】函数，周期，即函数的周期为。
10、【答案】
11、【答案】－20
解析】.12、【答案】10
13、【答案】
14、【答案】①④
解析】①，所以是真命题；②时无法确定，是假命题；③时，，是假命题；④同①可证，为真命题。故选①④
15、答案：a
16、【解答】集合a讨论后利用数轴可知，或，解答选项为b．
17、答案：c
18、答案：b
19、【答案】解：（1）∵，即。
由正弦定理，得，∴。
又∵，∴即。
即。∴。由 （1） ，得，解得。
20、【答案】[解]如图，设矩形为，长为米，其中，
健身房占地面积为平方米。因为∽,
以， ,求得，
从而， 当且仅当时，等号成立。
答：该健身房的最大占地面积为500平方米。
21、【答案】解：
)因为aa1c1c为正方形，所以aa1 ⊥ac.
因为平面abc⊥平面aa1c1c,且aa1垂直于这两个平面的交线ac,所以aa1⊥平面abc.
)由()知aa1 ⊥ac,aa1 ⊥ab. 由题知ab=3,bc=5,ac=4,所以ab⊥ac. 如图，以a为原点建立空间直角坐标系a-,则b(0,3,0),a1(0,0,4),b1(0,3,4),c1(4,0,4),
设平面a1bc1的法向量为，则，即，
令，则， ,所以。
同理可得，平面bb1c1的法向量为，所以。 由题知二面角a1-bc1-b1为锐角，所以二面角a1-bc1-b1的余弦值为。
)设d是直线bc1上一点，且。 所以。解得， ,
所以。 由，即。解得。
因为，所以**段bc1上存在点d,
使得ad⊥a1b.
此时，. 22、答案：（1）解：设等差数列的公差是．
依题意 ，从而．
所以 ，解得 ．
所以数列的通项公式为 ．
2）解：由数列是首项为，公比为的等比数列，得 ，即， 所以
所以 从而当时，；
当时，．23、答案：由已知，直线的方程为，圆心（0,0）到直线的为。
因为|ab|=6，所以，解得。由，得。
)解：设a()，直线：，则点p(0,).因为，所以或，当时，,所以，.
由方程组得。
当时，，所以，.
由方程组得。
综上，直线的斜率为±1，.
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