第二章有理数。
1、 正数和负数。
知识点1 具有相反意义的量。
相反意义的量包含两层意思：一是“相反意义”，即意义相反，类似语文中的反义词；二是“量”，具有一定的数量。
方法点拨：要找准具有相反意义的量，先要找出语句中是否含有一对具有相反意义的词。
知识点2 正数和负数。
具有相反意义的量中，我们把其中一种意义的量规定为正，用小学学过的数表示；把与它意义相反的量规定为负，用小学学过的数（零除外）在前面加一个“－”号来表示。
理解正数与负数时应注意：
1、 正数可以表示为“＋”也可以省略“＋”
2、 “0”既不是正数，也不是负数。
3、 用字母或式子表示的数判断其正、负时要特别小心。如－不一定表示负数，――不一定表示负数：当为负数时，－表示正数；当、均为负数时，――表示正数。
4、 按数的大小来研究，正数大于0，负数小于0，0是正数与负数的分界线。
方法点拨：判定一个数是正数还是负数时，不要简单地认为带正号的数是正数，带负号的数是负数。若＋表示一个有理数，在判定＋是正数还是负数时，首先要弄清本身表示的数是何种性质；当是正数时，＋表示正数；当是0时，表示0；当是负数时，＋表示负数。
知识点3 正分数与负分数。
注意：（1）正确理解小数与分数的关系：并不是所有的小数都能化为分数，小数分为有限小数、无限循环小数与无限不循环小数，其中只有有限小数与无限循环小数能化为分数；（2）到目前为止，我们所学过的数（除外）都是有理数；（3）“0”既不是正数，也不是负数，但“0”是整数；（4）数的范围扩大为有理数后，奇数和偶数的外延也由自然数扩大为整数，能被2整除的整数是偶数，如：
―4，―2，0，2，4，6，8，…；不能被2整除的整数是奇数，如―3，―1，1，3，5，…。因此，整数也可以分为奇数和偶数两类。
知识点4 有理数的分类。
1、 按定义（或性质）分。
2、 按正负性（或大小）分。
注意：（1）要想分类结果不重不漏，必须对两种分类做到心中有数，整数与分数对应，正数与负数对应，零既不是正数也不是负数，它是整数也是有理数。
2）有时我们习惯上将“正有理数和零”称做非负有理数（即非负数）；将“负有理数和零”称做非正有理数（即非正数）；将“正整数和零”称做非负整数（即自然数）；将“负整数和零”称做非正整数。
3）数集的概念及两种常见的表示方法。
把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。数集的表示方法有：①椭圆表示法；②大括号表示法。注意：每个数集最后还应填上“…”表示除填入的数外，该数集还包括其他的数。
2、数轴。知识点1 数轴的概念及画法。
1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。
数轴的定义包含三层含义：
第一层：数轴是一条直线，可以向两方无限延伸；
第二层：数轴上有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；
第三层：原点的选定、正方向的取向和单位长度的确定，可以根据实际需要而定，通常取向右的方向为正方向。
2）数轴的画法。
一画：画一条直线（一般都是水平直线）；
二定：确定原点，并用这一点表示数字为0；
三选：选取正方向，用箭头表示（一般规定向右为正）；
四统一：单位长度应统一；
五标数：在原点左右两边依次标上对应的刻度。
方法点拨：借助几何图形来理解代数概念，将数与形结合起来，这叫做数形结合，数轴就是将数与形有机结合起来的很好的工具。
知识点2 数轴上的点与有理数的关系。
1）所有的有理数均可以用数轴上的点表示，数轴的原点表示“0”，原点的右边表示正数，原点的左边表示负数。
2）数轴上，原点右边的点离原点越远表示的数越大，原点左边的点离原点越远表示的数越小。
3）数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可能是无理数（以后学习）
方法点拨：不能说数轴上的点与有理数是一一对应的。
知识点3 利用数轴比较有理数的大小。
1）掌握有理数大小的比较法则：在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。比较法则：①正数都大于零；②负数都小于零；③正数大于一切负数。
2）有理数大小的比较方法：①先将要比较的数分别在数轴上表示出来；②然后用“不等号”将它们连接起来。
方法点拨：我们常用“＞0”表示正数，用“＜0”表示负数。
知识点4 数轴上点的距离。
1）对于数轴上任意一点，总有两个点到该点的距离相等，并且分别位于该点的左、右两侧。
2）数轴上两点之间的距离只与单位长度有关，与点的位置、数的正负无关。
方法点拨：数轴上与某点距离相等的点有两个，不要漏掉一个，数轴上两点间的距离只与单位长度有关。
3、相反数。
知识点1 相反数的意义。
方法点拨：相反数是符号相反，数字相同的两个数。在理解相反数的概念时，概念内容叙述的是一般情况，还要注意千万不能漏掉特例：“0的相反数为0”
正确理解相反数的意义：
相反数是成对出现的，是指两个数之间的特殊关系，它们不能单独存在，如不能说“－2是相反数”；②互为相反数的两个数之间的关系是相互的，如“的相反数是－”，反之“－的相反数是”；③两个相反数仅仅是指符号不同，而符号后面的数是相同的，如：－3和5不是相反数；④相反数与相反意义的量是两个不同的概念。
知识点2 相反数的性质。
1）任何一个数都只有一个相反数。
2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。
3）互为相反数的两个数之和为0，反过来，和为0的两个数互为相反数。
即、互为相反数=0，也可以表示为或。
方法点拨：熟练掌握相反数的代数意义就能正确理解相反数的性质。
知识点3 相反数的表示方法。
1）求正数的相反数在原数前面加“—”号；（2）求负数的相反数，将原数前面的“－”去掉；（3）0的相反数为0；（4）求字母或代数式的相反数，将代数式作为一个整体，在它前面加上一个“－”号。
方法点拨：求任何一个数的相反数都是在它前面加上一个负号即可。
知识点4 多重符号的化简。
方法点拨：多重符号的化简其实较为简单：数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负。
4、绝对值。
知识点1 绝对值的几何意义。
一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离，数的绝对值记作“”，读作“的绝对值”。
方法点拨：一个数的绝对值的几何意义是在数轴上定义的，数的绝对值表示的是距离，距离只能为正数和0，故绝对值具有非负性。
知识点2 绝对值的代数意义。
1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，零的绝对值为0，负数的绝对值是它的相反数。
2）式子表示：
或=知识点3 绝对值的求法。
求一个数的绝对值，应“先判再去”，即先判断这个数是正数、负数，还是0，再由绝对值的代数意义确定结论的符号，并去掉绝对值符号。
注意：当这个数的正负性不能确定时，要分类讨论。
知识点4 绝对值的性质。
1）任何一个有理数的绝对值一定是非负数，即，零是绝对值最小的有理数。
2）绝对值为某一正数的数有两个，它们互来相反数，绝对值为零的数是零，任何一个有理数的绝对值都大于或等于它本身，即。
3）任何一个有理数都有唯一的绝对值。
七年级第二章有理数
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