七年级数学竞赛第22讲生活中的数学 1

发布 2023-03-14 01:00:28 阅读 3453

七年级数学竞赛第二十二讲生活中的数学(一)——储蓄、保险与纳税。

储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题,几乎人人都会遇到,因此,我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识,以增强理财的自我保护意识和处理简单财务问题的数学能力.

1.储蓄。银行对存款人付给利息,这叫储蓄.存入的钱叫本金.一定存期(年、月或日)内的利息对本金的比叫利率.本金加上利息叫本利和.

利息=本金×利率×存期,本利和=本金×(1+利率经×存期).

如果用p,r,n,i,s分别表示本金、利率、存期、利息与本利和,那么有。

i=prn,s=p(1+rn).

例1 设年利率为0.0171,某人存入银行2000元,3年后得到利息多少元?本利和为多少元?

解 i=2000×0.0171×3=102.6(元).

s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元).

答某人得到利息102.6元,本利和为2102.6元.

以上计算利息的方法叫单利法,单利法的特点是无论存款多少年,利息都不加入本金.相对地,如果存款年限较长,约定在每年的某月把利息加入本金,这就是复利法,即利息再生利息.目前我国银行存款多数实行的是单利法.不过规定存款的年限越长利率也越高.例如,2023年3月我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表22.1所示.

用复利法计算本利和,如果设本金是p元,年利率是r,存期是n年,那么若第1年到第n年的本利和分别是s1,s2,…,sn,则。

s1=p(1+r),s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2,s3=s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3,……sn=p(1+r)n.

例2 小李有20000元,想存入银行储蓄5年,可有几种储蓄方案,哪种方案获利最多?

解按表22.1的利率计算.

(1)连续存五个1年期,则5年期满的本利和为。

20000(1+0.0522)5≈25794(元).

(2)先存一个2年期,再连续存三个1年期,则5年后本利和为。

20000(1+0.0558×2)·(1+0.0522)3≈25898(元).

(3)先连续存二个2年期,再存一个1年期,则5年后本利和为。

20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)≈26003(元).

(4)先存一个3年期,再转存一个2年期,则5年后的本利和为。

20000(1+0.0621×3)·(1+0.0558×2)≈26374(元).

(5)先存一个3年期,然后再连续存二个1年期,则5年后本利和为。

20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)2≈26268(元).

(6)存一个5年期,则到期后本利和为。

20000(1+0.0666×5)≈26660(元).

显然,第六种方案,获利最多,可见国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选择的存款方案,利率是合理的.

例3 小华是独生子女,他的父母为了给他支付将来上大学的学费,从小华5岁上小学前一年,就开始到银行存了一笔钱,设上大学学费每年为4000元,四年大学共需16000元,设银行在此期间存款利率不变,为了使小华到18岁时上大学本利和能有16000元,他们开始到银行存入了多少钱?(设1年、3年、5年整存整取,定期储蓄的年利率分别为5.22%,6.

21%和6.66%)

解从5岁到18岁共存13年,储蓄13年得到利息最多的方案是:连续存两个5年期后,再存一个3年期.

设开始时,存入银行x元,那么第一个5年到期时的本利和为。

x+x·0.0666×5=x(1+0.0666×5).

利用上述本利和为本金,再存一个5年期,等到第二个5年期满时,则本利和为。

x(1+0.0666×5)+x(1+0.0666×5)·0.0666×5

x(1+0.0666×5)2.

利用这个本利和,存一个3年定期,到期时本利和为x(1+0.0666×5)2(1+0.0621×3).这个数应等于16000元,即。

x(1+0.0666×5)2·(1+0.0621×3)=16000,所以 1.777×1.186x=16000,所以 x≈7594(元).

答开始时存入7594元。

2.保险。保险是现代社会必不可少的一种生活、生命和财产保护的金融事业.例如,火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险,人寿保险是由于人身意外伤害或养老的保险,等等.下面举两个简单的实例.

例4 假设一个小城镇过去10年中,发生火灾情况如表22.2所示.

试问:(1)设想平均每年在1000家中烧掉几家?

(2)如果保户投保30万元的火灾保险,最低限度要交多少保险费保险公司才不亏本?

解 (1)因为。

1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家),365+371+385+395+412+418+430+435+440+445=4096(家).

(2)300000×0.0026=780(元).

答(1)每年在1000家中,大约烧掉2.6家.

(2)投保30万元的保险费,至少需交780元的保险费.

例5 财产保险是常见的保险.假定a种财产保险是每投保1000元财产,要交3元保险费,保险期为1年,期满后不退保险费,续保需重新交费.b种财产保险是按储蓄方式,每1000元财产保险交储蓄金25元,保险一年.期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金,以利息作为保险费.今有兄弟二人,哥哥投保8万元a种保险一年,弟弟投保8万元b种保险一年.试问兄弟二人谁投的保险更合算些?(假定定期存款1年期利率为5.22%)

解哥哥投保8万元a种财产保险,需交保险费。

80000÷1000×3=80×3=240(元).

弟弟投保8万元b种财产保险,按每1000元交25元保险储蓄金算,共交。

80000÷1000×25=2000(元),而2000元一年的利息为。

2000×0.0522=104.4(元).

兄弟二人相比较,弟弟少花了保险费约。

240-104.4=135.60(元).

因此,弟弟投的保险更合算些.

3.纳税。纳税是每个公民的义务,对于每个工作人员来说,除了工资部分按国家规定纳税外,个人劳务增收也应纳税.现行劳务报酬纳税办法有三种:

(1)每次取得劳务报酬不超过1000元的(包括1000元),预扣率为3%,全额计税.

(2)每次取得劳务报酬1000元以上、4000元以下,减除费用800元后的余额,依照20%的比例税率,计算应纳税额.

(3)每次取得劳务报酬4000元以上的,减除20%的费用后,依照20%的比例税率,计算应纳税额.

每次取得劳务报酬超过20000元的(暂略).

由(1),(2),(3)的规定,我们如果设个人每次劳务报酬为x元,y为相应的纳税金额(元),那么,我们可以写出关于劳务报酬纳税的分段函数:

例6 小王和小张两人一次共取得劳务报酬10000元,已知小王的报酬是小张的2倍多,两人共缴纳个人所得税1560元,问小王和小张各得劳务报酬多少元?

解根据劳务报酬所得税计算方法(见函数①),从已知条件分析可知小王的收入超过4000元,而小张的收入在1000~4000之间,如果设小王的收入为x元,小张的收入为y元,则有方程组:

由①得y=10000-x,将之代入②得。

x(1-20%)20%+(10000-x-800)20%=1560,化简、整理得。

0.16x-0.2x+1840=1560,所以。

0.04x=280,x=7000(元).

则 y=10000-7000=3000(元).

所以。答小王收入7000元,小张收入3000元.

例7 如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是。

其中y(x)表示稿费为x元应缴纳的税额.

那么若小红的爸爸取得一笔稿费,缴纳个人所得税后,得到6216元,问这笔稿费是多少元?

解设这笔稿费为x元,由于x>4000,所以,根据相应的纳税规定,有方程。

x(1-20%)·20%×(1-30%)=x-6216,化简、整理得。

0.112x=x-6216,所以 0.888x=6216,所以 x=7000(元).

答这笔稿费是7000元.

练习二十二。

1.按下列三种方法,将100元存入银行,10年后的本利和各是多少?(设1年期、3年期、5年期的年利率分别为5.22%,6.21%,6.66%保持不变)

(1)定期1年,每存满1年,将本利和自动转存下一年,共续存10年;

(2)先连续存三个3年期,9年后将本利和转存1年期,合计共存10年;

(3)连续存二个5年期.

2.李光购买了25000元某公司5年期的债券,5年后得到本利和为40000元,问这种债券的年利率是多少?

3.王芳取得一笔稿费,缴纳个人所得税后,得到2580元,问这笔稿费是多少元?

4.把本金5000元存入银行,年利率为0.0522,几年后本利和为6566元(单利法)?

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