第三讲绝对值。
绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。
绝对值的定义及性质。
绝对值简单的绝对值方程。
化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）
绝对值几何意义的使用。
绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。
绝对值的性质：
1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；
a （a＞0）
2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）
a (a＜0)
3） 若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；
4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，且|a|≥-a；
5） 若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）
6） |ab|=|a|·|b|；|b≠0）；
7） |a|=|a|=a；
8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥|a|-|b|| a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|
例1]1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？
2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）
3） 下列各组判断中，正确的是（ ）
a．若|a|=b，则一定有a=b b.若|a|＞|b|,则一定有a＞b
c. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b| d.若|a|=b，则一定有a=(-b)
4） 设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？
分析：1） 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个。
2） 答案c不完善，选择d.在此注意复习巩固知识点3。
3） 选择d。
4） 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9
巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？
分析》：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。
巩固] 有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ）
分析：选择d。
巩固] 若|x-3|=3-x，则x的取值范围是。
分析：若|x-3|=3-x，则x-3≤0，即x≤3。对知识点3的复习巩固。
巩固] 若a＞b，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（ ）
分析：选择c
巩固] 设a，b是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？
分析：|a-b|≥0，-8-|a-b|≤-8，所以有最大值-8
例2]1）（竞赛题）若3|x-2|+|y+3|=0，则的值是多少？
2）若|x+3|+(y-1) =0，求的值。
分析：（1）|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3， =
（2）由|x+3|+（y-1）=0，可得x=-3，y=1。==1
n为偶数时，原式=1；n为奇数时，原式=-1
小知识点汇总：（本源 |a|≥0 b≥0）
若(x-a) +x-b) =0,则x-a=0且x-b=0；
若|x-a|+(x-b) =0,则x-a=0且x-b=0；
若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；
当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为0，两个非负数互为相反数时，两者均为0
例3】1） 已知x是有理数，且|x|=|4|，那么x=＿＿
2） 已知x是有理数，且-|x|=-2|，那么x=＿＿
3） 已知x是有理数，且-|-x|=-2|，那么x=＿＿
4） 如果x，y表示有理数，且x，y满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x，那么x+y的值是多少？分析：
（4）x=±5，y=±2，且|x-y|=y-x，x-y≤0；
当x=5，y=2时不满足题意；当x=5，y=-2时不满足题意；
当x=-5，y=2时满足题意；x+y=-3；当x=-5，y=-2时满足题意，x+y=-7。
巩固】巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值。
分析：因为|x|=4，所以x=±4，因为|y|=6，所以y=±6
当x=4，y=6时，|x+y|=|10|=10； 当x=4，y=-6时，|x+y|=|2|=2;
当x=-4，y=6时，|x+y|=|2|=2； 当x=-4，y=-6时，|x+y|=|10|=10
例4】解方程：（1）
2）|4x+8|=12
3）|3x+2|=-1
4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x与y互为相反数，求的值。
分析：（1）原方程可变形为：|x+5|=，所以有x+5=±，进而可得：x=-，
（2）4x+8=±12，x=1，x=-5
（3）此方程无解。
（4）|x-1|=2，x-1=±2，x=3，x=-1，|y|=3，y=±3，且x与y互为相反数，所以x=3，y=-3，
例5】 若已知a与b互为相反数，且|a-b|=4，求的值。
分析：a与b互为相反数，那么a+b=0。
当a-b=4时，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4；
当a-b=-4时，且a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4；
综上可得=4
例6】1） 已知a=-，b=-，求的值。
2） 若|a|=b，求|a+b|的值。
3） 化简：|a-b|
分析：（1）原式=
（2）|a|=b，我们可以知道b≥0，当a<0时，a=-b，|a+b|=0；当a≥0时，a=b，|a+b|=2b
（3）分类讨论。
当a-b＞0时，即a＞b，|a-b|=a-b；
当a-b=0时，即a=b，|a-b|=0；
当a-b＜0时，即a＜b，|a-b|=b-a。
巩固】 化简：（1）|3.14-π|2）|8-x|（x≥8）
分析：（1）3.14<π，3.14-π＜0，|3.14-π|3.14
（2）x≥8，8-x≤0，|8-x|=x-8。
例7】有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|
分析：|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-（a+c）-（c-b）=2b-2c
巩固】已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|
分析：|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a
巩固】数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||
分析：|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||=a+b）+（b-a）+b-（-2a）=b
例8】（1）若a<-b且，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|
（2）若-2≤a≤0，化简|a+2|+|a-2|
（3）已知x<00,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值。
分析：（1）若a<-b且，a<0,b<0,a+b<0,ab>0
|a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a
(2)因为-2≤a≤0，所以a+2≥0，a-2≤0，|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4
(3)由x<00可得：y<0|z|>|x|,可得：y【巩固】如果0 分析：|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x
例9】（1）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||
（2）若a<0，试化简。
分析：（1）当x<-3时，|3+|2-|1+x|||3+|2+1+x||=3+|3+x||=3-3-x|=|x|=-x
例10】若abc≠0，则的所有可能值。
分析：从整体考虑：
（1）a，b，c全正，则=3；
（2）a，b，c两正一负，则=1；
（3）a，b，c一正两负，则=-1；
（4）a，b，c全负，则=-3
巩固】有理数a，b，c，d，满足，求的值。
分析：有知abcd<0，所以a，b，c，d里含有1个负数或3个负数：
1） 若含有1个负数，则=2；
2） 若含有3个负数，则=-2
例11】化简|x+5|+|2x-3|
分析：先找零点。x+5=0，x=-5；2x-3=0，x=，零点可以将数轴分成几段。
当x≥，x+5＞0,2x-3≥0，|x+5|+|2x-3|=3x+2；
当-5≤x＜，x+5≥0,2x-3＜0，|x+5|+|2x-3|=8-x；
当x<-5，x+5<0,2x-3，|x+5|+|2x-3|=-3x-2
巩固】化简：|2x-1|
分析：先找零点。2x-1=0，x=，依次零点可以将数轴分成几段。
1） x<,2x-1<0，|2x-1|=﹣2x-1）=1﹣2x；
2） x=，2x-1=0，|2x-1|=0
3） x>，2x-1>0，|2x-1|=2x-1。也可将（2）与（1）合并写出结果。
例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值。
分析：先找零点，m=0，m-1=0，m-2=0，解得m=0,1,2
依这三个零点将数轴分为四段：m＜0,0≤m＜1,1≤m＜2，m≥2。
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