第九章因式分解。
一、分解因式。
1.2x4y2－4x3y2＋10xy4。
2. 5xn+1－15xn＋60xn－1。
4. (a+b)2x2-2(a2-b2)xy+(a-b)2y2
5. x4-1
6.－ａ2－b2＋2ab＋４分解因式。
12．3x2+5x-2
13. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
14. (x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.
15．把多项式3x2+11x+10分解因式。
二证明题。16．求证：32000－4×31999＋10×31998能被7整除。
17.设为正整数，且64n-7n能被57整除，证明：是57的倍数。
18.求证：无论x、y为何值，的值恒为正。
19.已知x2+y2-4x+6y+13=0,求x,y的值。
三求值。20.已知a,b,c满足a-b=8,ab+c2+16=0,求a+b+c的值 .
21．已知x2+3x+6是多项式x4-6x3+mx2+nx+36的一个因式，试确定m,n的值，并求出它的其它因式。
因式分解精选练习答案。
一分解因式。
1. 解：原式=2xy2·x3－2xy2·2x2＋2xy2·5y2
=2xy2 (x3－2x2＋5y2)。
提示：先确定公因式，找各项系数的最大公约数2；各项相同字母的最低次幂xy2，即公因式2xy2，再把各项的公因式提到括号外面，把多项式写成因式的积。
2. 提示：在公因式中相同字母x的最低次幂是xn-1，提公因式时xn+1提取xn-1后为x2，xn提取xn--1后为x。
解：原式=5 xn--1·x2－5xn--1·3x＋5xn--1·12
=5 xn--1 (x2－3x＋12)
3.解：原式=3a(b-1)(1-8a3)
3a(b-1)(1-2a)(1+2a+4a2)
提示：立方差公式：a3-b3=(a-b)( a2+ab+b2)
立方和公式：a3+ b3=(a+b)( a2-ab+b2)
所以，1-8 a3=(1-2a)(1+2a+4a2)
4.解：原式= [a+b)x]2-2(a+b)(a-b)xy+[(a-b)y]2
(ax+bx-ay+by)2
提示：将（a+b）x和（a-b）y视为一个整体。
5.解：原式=( x2+1)( x2-1)
( x2+1)(x+1)(x-1)
提示：许多同学分解到(x2+1)( x2-1)就不再分解了，因式分解必须分解到不能再分解为止。
6.解：原式＝－（a2－2ab＋b2－４）
提示：如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。但也不能见负号就先“提”，要对全题进行分析。防止出现诸如－９x2＋４y２＝（3x）２－2y）2的错误。
7. 解： 原式= x4-x3-(x-1)
x3(x-1)-(x-1)
(x-1)(x3-1)
(x-1)2(x2+x+1)
提示：通常四项或者以上的因式分解，分组分的要合适，否则无法分解。另外，本题的结果不可写成(x-1)(x-1)( x2+x+1),能写成乘方的形式的，一定要写成乘方的形式。
*使用了立方差公式，x3-1=(x-1)( x2+x+1)
8. 解：原式=y2[(x+y)2-12(x+y)+36]-y4
y2(x+y-6)2-y4
y2[(x+y-6)2-y2]
y2(x+y-6+y)(x+y-6-y)
y2(x+2y-6)(x-6)
9. 解：原式= (x+y)2(x2-12x+36)-(x+y)4
(x+y)2[(x-6)2-(x+y)2]
(x+y)2(x-6+x+y)(x-6-x-y)
(x+y)2(2x+y-6)(-6-y)
- x+y)2(2x+y-6)(y+6)
10.解：原式=（a2+b2 +2ab）+2bc+2ac+c2
(a+b)2+2(a+b)c+c2
(a+b+c)2
提示：*将(a+b)视为 1个整体。
11.解：原式=x2-2x+1-1-8 *
(x-1)2-32
(x-1+3)(x-1-3)
(x+2)(x-4)
提示：本题用了配方法，将x2-2x加上1个“1”又减了一个“1”，从而构成完全平方式。
12．解：原式=3(x2+x)-2
3(x2+x+-)2 *
3(x+)2-3×-2
3(x+)2-
3[(x+)2-]
=3(x++)x+-)
3(x+2)(x-)
(x+2)(3x-1)
提示：*这步很重要，根据完全平方式的结构配出来的。对于任意二次三项式ax2+bx+c(a≠0)可配成a(x+)2+.
13.解：原式=[(x+1)(x+4)][x+2)(x+3)]+1
( x2+5x+4)( x2+5x+6)+1
令x2+5x=a,则原式=(a+4)(a+6)+1
a2+10a+25
(a+5)2
(x2+5x+5)
提示：把x2+5x看成一个整体。
14. 解原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120
=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120
=( x2+5x+6)( x2+5x+4)-120
令x2+5x=m, 代入上式，得。
原式=(m+6)(m+4)-120=m2+10m-96
(m+16)(m-6)=(x2+5x+16)( x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1)
提示：把x2+5x看成一个整体。
15．解：原式＝(x+2)(3x+5)
提示：把二次项3x2分解成x与3x（二次项一般都只分解成正因数），常数项10可分成1×10＝－1×（－10）＝2×5＝－2×（－5），其中只有11x=x×5+3x×2。
说明：十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，特别是当二次项的系数不是1的时候，给我们的分解带来麻烦，这里主要就是讲讲这类情况。分解时，把二次项、常数项分别分解成两个数的积，并使它们交叉相乘的积的各等于一次项。
需要注意的是：⑴如果常数项是正数，则应把它分解成两个同号的因数，若一次项是正，则同正号；若一次项是负，则应同负号。⑵如果常数项是负数，则应把它分解成两个异号的因数，交叉相乘所得的积中，绝对值大的与一次项的符号相同（若一次项是正，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是正号；若一次项是负，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是负号）。
ax c二次项常数项。
bx dadx+bcx=(ad+bc)x 一次项。
ab x2+(ad+bc)x+cd=(ax+c)(bx+d)
二证明题。16．证明： 原式=31998(32－4×3＋10)= 31998×7， 能被7整除。
17.证明：
8（82n-7n）+8×7n+7n+2
8（82n-7n）+7n(49+8)
8（82n-7n）+577n
是57的倍数。
18.证明：
4 x2-12x+9+9 y2+30y+25+1
(2x-3) 2+(3y+5) 2+1
19.解：∵x2+y2-4x+6y+13=0
x2-4x+4+y2+6y+9=0
x-2) 2+(y+3) 2=0
x-2) 2≥0, (y+3) 2≥0.
x-2=0且y+3=0
x=2,y=-3
三求值。20.解：∵a-b=8
a=8+b又ab+c2+16=0
即∴（b+8）b+c2+16=0
即(b+4)2+c2=0
又因为，(b+4) 2≥0，c2≥0,b+4=0,c=0,b=-4,c=0,a=b+8=4
a+b+c=0.
21． 解：设它的另一个因式是x2+px+6,则。
x4-6x3+mx2+nx+36
(x2+px+6)(x2+3x+6)
x4+(p+3)x3+(3p+12)x2+(6p+18)x+36
比较两边的系数得以下方程组：解得
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