（西安市文景中学七年级数学备课组培优资料）
本讲教育信息】
一。 教学内容：
寒假专题——分情况讨论。
二、教学要求。
1、巩固有理数的几种分类方法，加法及乘法法则，深入理解相反数、乘方、绝对值的概念，知道几何图形的分类及角的分类方法；
2、树立分类意识，能够从问题环境中抓住分类的对象，并能根据对象的特点找出科学合理的分类标准；
3、能够在实际背景中理解各数量关系及变化规律，合理分情况讨论；发展应用数学知识解决问题的意识和能力，进一步加深对相关数学知识的理解；认识数学知识之间的联系。
三、重点、难点。
重点：1、巩固基本概念与法则；
2、从问题情景中抓住分类的对象并找出正确的分类标准；
3、能够逐类讨论并概括归纳。
难点：1、确定分类对象及标准。
2、正确、全面地讨论、归纳。
四、课堂教学。
一）知识要点。
1、基本概念的讨论。
在本学期的学习中，我们接触了许多的新概念及概念之间的关系，如整式分为单项式与多项式、等式分为方程、恒等式与矛盾式，几何图形分为平面图形与立体图形，角按角度分为零角、锐角、直角、钝角、平角、优角、周角。以上这些都是对一个较大的概念按一定的标准进行分类，而我们往往通过对其中每一小类的讨论，掌握其性质，从而对大概念这一整体进行把握。我们所接触的事物往往不是单一的，一成不变的，因此需要我们能够分清它的不同情况，逐一讨论，通过概括总结解决问题。
1）有理数的分类。
有理数按不同的目的标准有不同的分类方法，我们常见的两种是：
注意：确定统一的分类标准，按照标准分类要做到既不重复又不遗漏。我们对有理数的相反数、绝对值及倒数的讨论往往建立在有理数分类的基础上。
2）相反数、绝对值、倒数。
a）相反数。
数的相反数表示为，不一定是负数。对于的符号的确定需要分类讨论。
b）绝对值。
数的绝对值表示为，对于的化简要有具体分类讨论的思想，把可能出现的情况都想到，做到解题准确。一般是对绝对值里面的式子按正数、负数、0进行分类，确定为哪一类，再根据其性质讨论。
如：c）倒数。
数的倒数表示为，与的符号相同，即
对于一个数的倒数大小的讨论有四种情况：
时，时，时，时，2、加法与乘法的法则。
加法法则：（1）同号的两个数相加，符号不变，并把两个加数的绝对值相加。（2）异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数和为0。
（3）0和任何一个有理数相加，仍得这个有理数。
乘法法则：同号两个数相乘得正，异号两个数相乘得负，并把绝对值相乘，任何有理数和0相乘都得0。
加法与乘法法则都要对进行运算的两个数分类讨论，对每类的运算结果进行规定，进行计算时首先要确定进行运算的两个数属于哪一类，特别地，除法与减法可以转化为乘法和加法进行。
在、－5这四个数中求任何两个数相乘，所得的积中最大的。
共有×（5）六种情况，积最大的值为正数，因此必为同号相乘，只有×4两种情况，可知最大的积是3×4＝12。
通过分析几种情况利用法则可准确判断结果，而不出现漏掉最大值的现象。
3、比较大小。
对于一些没有具体数值而比较大小的问题，需要分情况讨论其结果。
如与比较，时，时，时，则与比较。、都有三种情况：正数、0、负数，分别讨论。
时有三种可能，，此时。
时有三种可能，，此时。
时不可能，因为最小的绝对值为0。
综合 ，当时，；当时。
有两种情况，如化简[
为偶数，为奇数，如。
另外，由于为正偶数时，则可知，互为相反数的偶数次幂相等，则偶数次幂为一个正数的数有两个，如，则。由乘法法则可知，任何数的偶次幂都为正数。
5、应用题。
在现实生活中存在一些问题需要分不同情况讨论，总结结论。
如某出租车收费标准是4千米以内为10元，超过4千米不足20千米时，每千米1.2元；超过20千米后，每千米1.8元。甲乘坐出租车走了千米，则应付多少车费？
其中没有给出在哪一范围内。这段路有三种情况。因此，要对分情况讨论。
分、和三种情况讨论。[①时，收费10元；②在4－20千米时，收费（10＋1.2×（－4））元；③时，收费［（10＋1.
2×16＋1.8×（－20））］元。
6、几何方面。
在几何中分情况讨论的问题也相当普遍，同学们往往看不到分类的必要性。
如过平面上三点，两两画一条直线，可有几条直线。
分两种情况：三点在一条直线上，则可画一条直线；三点不在一条直线上，则可以画三条直线。
一个钝角减去一个锐角是什么角，有三种情况。
钝角，如170°－20°＝150°
直角，100°－10°＝90°
锐角，120°－60°＝60°
典型例题】例1：在直线ab上取点c，已知ab＝8㎝，bc＝2㎝，求ac。
分析：作图是其中的关键。c点在直线ab上，但是c点是否取在a、b之间没有确定，要分情况讨论。
情况1：c点在ab之间，可知，ac＝ab－bc＝8－2＝6（㎝）
情况2：c点在ab之外，可知ac＝ab＋bc＝8＋2＝10（㎝）
例2：已知互为相反数，互为倒数，，求的值。
分析：，则，分两种情况：
解：（1）当时，原式＝0－1＋2＝1
2）当时，原式＝0－1－2＝－－3
例3：表示有理数，那么一定小于吗？
分析：是有理数，有三种可能：正数、0、负数。对三种情况分别讨论。
解：①时，时，时，。
例4：比较与的大小。
分析：与都为正数，由加法法则，可知比和都大。化简，要判断符号。
由加法法则可知，有5种情况：①同号；②异号且负数绝对值较大；③异号且正数绝对值较大；④互为相反数；⑤中一数为0。
分别讨论，情况①＝
情况②<
情况③<
情况④<
情况⑤＝综合以上情况，则。
解：。例5：已知4条线段，长度分别是㎝，任取三条可组成几个三角形。
分析：如图三角形abc，线段bc是b到c的连线，ab＋ac为b到c的折线，由两点之间线段最短可知，ab＋ac>bc。则以上四个数据中任取三个也应满足这个关系。
解：①取长度分别为㎝的线段，5＋6＝11不符合规定；
取长度分别为㎝的线段，5＋6＝11<16不符合规定；
取长度分别为㎝的线段，5＋11＝16不符合规定；
取长度分别为㎝的线段，6＋11＝17>16
16＋6＝22>11符合规定。
则可知能组成一个三角形。
小结：一）能够确定树立分类的意识，分类时统一分类标准；
二）按分类标准做到既不重复又不遗漏；
三）逐步讨论完全；
四）善于总结概括结论。
模拟试题】（答题时间：30分钟）
一、填空。1、将下列各数填入相应的括号内。
正数集合负整数集合。
整数集合有理数集合。
2、已知，，则的最大值为。
3、若，则 （填》、《或＝）
4、，则 0（填<、 或＝）。
5、若，且，那么 0（填<、 或＝）。
6、若，则 （填<、 或＝）
7、化简。8、，则 0。
9、三条直线两两相交有个交点。
10、的倒数是 ，相反数是绝对值是 。
二、选择。1、两个数的积是负数，则（ ）
a. 两个数都是负数b. 一个数是负数，一个数是正数。
c. 至少有一个数是负数 d. a或b
2、如果有理数的倒数的绝对值分别是3和2，那么的值是（ ）
a. 是 bc. 是 d. 或。
3、两个数的积是零，下列判断中正确的是（ ）
a. 两个数都是零b. 其中只有一个数是零
c. 至少有一个数是零 d. 一个数不小于零，另一个数不大于零。
4、若为正整数，那么的结果是（ ）
a. 0 b. c. d. 或。三、化简。
试题答案】一、填空。
1、正数集合 ｛｝
负整数集合 ｛－15 ｝
整数集合 ｛ 15，97，0 ｝
有理数集合 ｛
3、<（提示若，则）
或3二、选择题。
1、b 2、d 3、c 4、a
三、化简。1、解：当时，即时，＝
当时，即时，＝
当时，2、解：当时，＝
当时，＝0当时，＝所以＝
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