1.数的整除。
例1. 今天是星期日，99天后是星期几？
例2. 设n为正整数，求43 n＋1 除以9的余数．
例3. 求证三个连续整数的立方和是9的倍数。
例4. 求证：方程x2－3y2＝17没有整数解。
练习。÷7的余数是＿＿＿
2、今天是星期日，第2天是星期一，那么第2111天是星期几？
2.乘法公式。
公式的推广：
1 多项式平方公式：(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd
即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍．
2 二项式定理：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3
a±b)4＝a4±4a3b＋6a2b2±4ab3＋b4）
a±b）5＝a5±5a4b＋10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律。
3 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式。
a＋b）(a3－a2b＋ab2－b3)＝a4－b4
(a＋b)(a4－a3b＋a2b2－ab3＋b4)＝a5＋b5
a＋b)(a5－a4b＋a3b2－a2b3＋ab4－b5)＝a6－b6
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律。
在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数。
a＋b)(a2n－1－a2n－2b＋a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)＝a2n－b2n
a＋b)(a2n－a2n－1b＋a2n－2b2－…－ab2n－1＋b2n)＝a2n＋1＋b2n＋1
类似地：a－b）(an－1＋an－2b＋an－3b2＋…＋abn－2＋bn－1)＝an－bn
公式的变形及其逆运算。
由（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 得 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
由 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝a3＋b3＋3ab(a＋b) 得 a3＋b3＝(a＋b)3－3ab(a＋b)
由公式的推广③可知：当n为正整数时。
an－bn能被a－b整除，
a2n＋1＋b2n＋1能被a＋b整除，a2n－b2n能被a＋b及a－b整除．
例1. 己知x＋y＝a xy＝b
求 ①x2＋y2 ②x3＋y3 ③x4＋y4 ④x5＋y5
例2. 求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方．
例3. 求证：2222＋3111能被7整除。
练习。1． 填空：
a2＋b2＝(a＋b)2a＋b)2＝(a－b)2＋__
a3＋b3＝(a＋b)3－3aba4＋b4＝(a2＋b2)2－__
⑤a5＋b5＝(a＋b)(a4＋b4a5＋b5＝(a2＋b2)(a3＋b3)－_
2． 填空：
(x＋yx4－y4 ②(x－yx4－y4
(x＋yx5＋y5 ④（x－yx5－y5 3.计算：
4. 计算下列各题 ，你发现什么规律。
5..已知x＋＝3， 求①x2＋ ②x3＋ ③x4＋的值。
6.化简：①（a＋b）2(a－b)2
②(a＋b)(a2－ab＋b2)
③(a－b)((a＋b)3－2ab(a2－b2)
(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(－a＋b＋c)
7.己知a＋b＝1， 求证：a3＋b3－3ab＝1
8.己知a2＝a＋1，求代数式a5－5a＋2的值。
9.求证：233＋1能被9整除。
10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方。
11．如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们的直径分别是a，b，c
1 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长。
2 求：大圆面积减去三个小圆面积和的差．
3.经验归纳法。
1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法．
通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，叫做经验归纳法．例如。
由 ( 1)2 ＝ 1 ，（1 ）3 ＝－1 ，（1 ）4 ＝ 1 ，…归纳出 － 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂是 1 ．
由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），三位数从 100 到 999 共900个（9×102），四位数有9×103＝9000个（9×103），归纳出n 位数共有9×10n－1 (个)
3 由1＋3＝22， 1＋3＋5＝32， 1＋3＋5＋7＝42……
推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等．
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯．
例1 、平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？
例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘．例如。
5！＝1×2×3×4×5．试比较3n与（n＋1）！的大小（n 是正整数）
1． 除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有＿＿个，n位数有＿＿＿个．
2． 十进制的两位数可记作10a1＋a2，三位数记作100a1＋10a2＋a3，四位数记作＿＿＿n位数＿＿＿记作＿＿＿
3． 由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43
（＿＿2 ，13＋＿＿152，13＋23＋…＋n3＝（ 2．
4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）
6．计算＋＋＋
4.二元一次方程组解的讨论。
1． 二元一次方程组的解的情况有以下三种：
1 当时，方程组有无数多解．（∵两个方程等效）
2 当时，方程组无解．（∵两个方程是矛盾的。
3 当（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：
（这个解可用加减消元法求得）
2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行．
例1. 选择一组a，c值使方程组。
1 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解。
例2. a取什么值时，方程组的解是正数？
例3. m取何整数值时，方程组的解x和y都是整数？
例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板．问桃，李，榄橄各买几粒？
5.二元一次方程的整数解。
方法一，整除法：求方程5x＋11y＝1的整数解。
解：x＝＝（1） ，设是整数），则y＝1－5k （2） ，
把（2）代入（1）得x＝k－2(1－5k)＝11k－2
原方程所有的整数解是（k是整数）
方法二，公式法：
设ax＋by＝c有整数解则通解是（x0，y0可用观察法）
1， 求二元一次方程的正整数解：
1 出整数解的通解，再解x，y的不等式组，确定k值。
2 用观察法直接写出．
乙例题。例1求方程5x－9y＝18整数解的能通解。
例2，求方程5x＋6y＝100的正整数解。
例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？
练习。1， 求下列方程的整数解。
公式法：x＋7y＝4， 5x－11y＝3
整除法：3x＋10y＝1， 11x＋3y＝4
2， 求方程的正整数解：①5x＋7y＝87， ②5x＋3y＝110
3，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
2， 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数．
3， 下列方程中没有整数解的是哪几个？答填编号）
1 4x＋2y＝11， ②10x－5y＝70， ③9x＋3y＝111，18x－9y＝98， ⑤91x－13y＝169， ⑥120x＋121y＝324．
6， 一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？
6.一元一次方程解的讨论。
1， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax＝b后，讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解 x＝；
当a＝0且b≠0时，无解；
当a＝0且b＝0时，有无数多解．（∵不论x取什么值，0x＝0都成立）
例1 a取什么值时，方程a(a－2)x＝4(a－2) ①有唯一的解？②无解？
有无数多解？④是正数解？
例2 k取什么整数值时，方程。
①k(x＋1)＝k－2（x－2）的解是整数？
（1－x）k＝6的解是负整数？
例3 己知方程a(x－2)＝b(x＋1)－2a 无解．问a和b应满足什么关系？
例4 a、b取什么值时，方程（3x－2）a＋（2x－3）b＝8x－7有无数多解？
练习。1， 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
1 (x＋1)＝0， ②x2＝9， ③x|＝9， ④x|＝－3，
3x＋1＝3x－1， ⑥x＋2＝2＋x
2，关于x的方程ax＝x＋2无解，那么a
3，在方程a(a－3)x＝a中，当a取值为＿＿＿时，有唯一的解； 当a＿＿＿时无解；
当a＿＿＿时，有无数多解； 当a＿＿＿时，解是负数．
4， k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？
1 x＝ ②x＝ ③x＝ ④x＝
5， k取什么值时，方程x－k＝6x的解是 ①正数？ ②是非负数？
6， m取什么值时，方程3（m＋x）＝2m－1的解 ①是零？ ②是正数？
7， 己知方程的根是正数，那么a、b应满足什么关系？
8， m取什么整数值时，方程的解是整数？
9、己知方程有无数多解，求a、b的值．
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