2、最值规律。
【积最大的规律】
（1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积最大。用字母表示，就是。
如果a1+a2+…+an=b（b为一常数），那么，当a1=a2=…=an时，a1×a2×…×an有最大值。
例如，a1+a2=10，1+9=10→1×9=9；
由上可见，当a1、a2两数的差越小时，它们的积就越大；只有当它们的差为0，即a1=a2时，它们的积就会变得最大。
三个或三个以上的数也是一样的。由于篇幅所限，在此不一一举例。
由“积最大规律”，可以推出以下的结论：
结论1 所有周长相等的n边形，以正n边形（各角相等，各边也相等的n边形）的面积为最大。
例如，当n=4时，周长相等的所有四边形中，以正方形的面积为最大。
例题：用长为24厘米的铁丝，围成一个长方形，长宽如何分配时，它的面积为最大？
解设长为a厘米，宽为b厘米，依题意得。
（a+b）×2=24
即 a+b=12
由积最大规律，得a=b=6（厘米）时，面积最大为。
6×6=36（平方厘米）。
（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的长方形。）
结论2 在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大。
例题：用12米长的铁丝焊接成一个长方体，长、宽、高如何分配，它的体积才会最大？
解设长方体的长为a米，宽为b米，高为c米，依题意得。
（a+b+c）×4=12
即a+b+c=3
由积最大规律，得a=b=c=1（米）时，长方体体积为最大。最大体积为。
1×1×1=1（立方米）。
（2）将给定的自然数n，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是2或3，并且2至多为两个时，这些自然数的积最大。
例如，将自然数8拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积为最大。怎么办呢？
我们可将各种拆法详述如下：
分拆成8个数，则只能是8个“1”，其积为1。
分拆成7个数，则只能是6个“1”，1个“2”，其积为2。
分拆成6个数，可得两组数：（1，1，1，1，1，3）；（1，1，1，1，2，2）。它们的积分别是3和4。
分拆成5个数，可得三组数：（1，1，1，1，4）；（1，1，1，2，3）；（1，1，2，2，2）。它们的积分别为4，6，8。
分拆成4个数，可得5组数：（1，1，1，5）；（1，1，2，4）；（1，1，3，3）；（1，2，2，3）；（2，2，2，2）。它们的积分别为5，8，9，12，16。
分拆成3个数，可得5组数：（1，1，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2，2，4）；（2，3，3）。它们的积分别为6，10，12，16，18。
分拆成2个数，可得4组数：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。它们的积分别为7，12，15，16。
分拆成一个数，就是这个8。
从上面可以看出，积最大的是。
可见，它符合上面所述规律。
用同样的方法，将分拆成若干个自然数的和，可发现。
6=3+3时，其积3×3=9为最大；
7=3+2+2时，其积3×2×2=12为最大；
14=3+3+3+3+2时，其积3×3×3×3×2=162为最大；
由这些例子可知，上面所述的规律是正确的。
【和最小的规律】几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达，就是如果a1×a2×…×an=c（c为常数），那么，当a1=a2=…=an时，a1+a2+…+an有最小值。
例如，a1×a2=9，1×9=9→1+9=10；
由上述各式可见，当两数差越小时，它们的和也就越小；当两数差为0时，它们的和为最小。
例题：用铁丝围成一个面积为16平方分米的长方形，如何下料，材料最省？
解设长方形长为a分米，宽为b分米，依题意得a×b=16。
要使材料最省，则长方形周长应最小，即a+b要最小。根据“和最小规律”，取。
a=b=4（分米）
时，即用16分米长的铁丝围成一个正方形，所用的材料为最省。
推论由“和最小规律”可以推出：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。
例如，面积均为4平方分米的正方形和圆，正方形的周长为8分米；而。
的周长小于正方形的周长。
【面积变化规律】在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。
为0.433×6=2.598（平方分米）。
方形的面积。
推论由这一面积变化规律，可以推出下面的结论：
在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。
例如，周长为4分米的正方形面积为1平方分米；而周长为4分米的圆，于和它周长相等的正方形面积。
【体积变化规律】在表面积一定的正多面体（各面为正n边形，各面角和各二面角相等的多面体）中，面数越多，体积越大。
例如，表面积为8平方厘米的正四面体s—abc（如图1.30），它每一个面均为正三角形，每个三角形面积为2平方厘米，它的体积约是1.1697立方厘米。而表面积为8平方厘米。
长约为1.1546厘米，体积约为1.539立方厘米。显然，正方体体积大于正四面体体积。
推论由这一体积变化规律，可推出如下结论：
在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。
例如，表面积为8平方厘米的正四面体，体积约为1.1697立方米；表面积为8平方厘米的正六面体（正方体），体积约为1.539立方厘米；而表面积是8平方厘米的球，体积却约有2.
128立方厘米。可见上面的结论是正确的。
【排序不等式】 对于两个有序数组：
a1≤a2≤…≤an 及b1≤b2≤…≤bn，则a1b1+a2b2+……anb抇n（同序）
t≥a1b抇1+a2b抇2+……anb抇n（乱序）≥a1b
n+a2bn-1+……a>nb1（倒序）（其中b抇1、b抇2、……b抇n
为b1、b2、……bn的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且仅当a1=a2=…=an，或b1=b2=…=bn时，式中等号成立。）由这一不等式可知，同序积之和为最大，倒序积之和为最小。例题：
设有10个人各拿一只水桶，同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第。
一、第二、……九、十个人的桶，分别需要分钟。问：如何安排这10个人的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少？这个总费时至少是多少分钟？
解设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1，2，3，……9，10。
打水时，等候的人数为第二个有序数组，等候时间最长的人数排前，这样组成。
根据排序不等式，最小积的和为倒序，即。
=220（分钟）
其排队顺序应为：根据注满一桶水所需时间的多少，按从少到多的排法。
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