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简单的最值问题。
一、专题简析:
在日常生活中,人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题,这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题,最终都可以归结成为:在一定范围内求最大值或最小值的问题,我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法:
1,枚举比较法。当题中给定的范围较小时,我们可以将可能出现的情形一一举出再比较;
2,着眼于极端情形,即充分运动已有知识和生活常识,一下子从“极端”情形入手,缩短解题过程。
二、精讲精练。
例题1 把分别填进图中16个三角形里,使每边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少?
分析为了方便描述,我们把图中部分三角形注上字母,从图中可以看出:中心处d中填的数和三条边上的和没有关系,因此,应填最小的数1。而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次,所以要尽可能填大数,即填11——16。
然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件,就可以计算出这个和的最大值了。
练习一。1,将六个数分别填入圆圈内,使三角形每条边上的和相等,这个和最大是多少?
2,把2——9分别填入下图圆圈内,使每个大圆上的五个数的和相等,并且最大。
3,将1——9这九个自然数分别填进九个小三角形中,使每4个小三角形组成的三角形内的4个数的和都等于20。
例题2 有8个西瓜,它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它们分成三堆,要使最重的一堆西瓜尽可能轻些,那么,最重的一堆应是多少千克?
分析 3堆西瓜的总重量是42.5千克,要使最重的一堆尽可能轻些,另两堆就得尽可能重些。
根据42.5÷3=14千克……0.5千克可知:最重的一堆是14+0.5=14.5千克,即由6千克和8。5千克组成,另外两堆分别是14千克。
练习二。1,一把钥匙只能开一把锁。现有9把钥匙和9把锁,但不知道哪把钥匙开哪把锁。最多要试开多少次才能配好全部钥匙和锁?
2,如果四个人的平均年龄是25岁,其中没有小于17岁的,且四人年龄都不相同。那么年龄最大的最多是几岁?
3,五位同学捐款,他们捐的钱有3张1元的,4张2元的,3张5元的和3张10元的。这五位同学捐款数各不相同,问:捐款最多的同学至少捐了多少元?
例题3 一次数学考试满分100分,6位同学平均分为91分,且6人分数互不相同,其中得分最少的同学仅得65分,那么排第三名的同学至少得多少分?(分数取整数)
分析除得65分的同学外,其余5位同学的总分是91×6-65=481分。根据第三名同学得分要至少,也就说其他四人得分要尽量高,第。
一、第二名分别得100分和99分,而接近的三个不同分是。所以,第三名至少得95分。
练习三。1,一个三位数除以43,商a余数是b(a、b都是整数),求a+b的最大值。
2,如下图,有两条垂直相交的线段ab、cd,交点为e。已知de=2ce,be=3ae。在ab和cd取3个点画三角形,问:怎样取三个点,画出的三角形面积最大?
3,一次考试满分100分,5位同学平均分是90分,且各人得分是不相同的整数。已知得分最少的人得了75分,那么,第一名同学至少得了多少分?
例题4 一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米,每一种庄稼需要先收割好、捆好,然后往回运输。现由两个小组分别承包这两项工作,工时如下表(一种庄稼不割好、捆好,不准运输),这两组从开工到完工最少经过多少小时?
分析先把各类庄稼从开工到完工所用的时间分别算出来:大豆7+5=12小时,谷子3+6=9小时,高梁5+1=6小时,小米5+9=14小时。平均每个小组用(12+9+6+14)÷2=20.
5小时,但实际做不到。因此,根据各类庄稼所需时间相加,使其最接近20.5小时。
12+9=21小时是最少经过的时间。
练习四。1,三个老师为7位不同的扮演者化妆,这7位同学化妆需要的时间分别为分钟。如果三位老师化妆速度相同,问最少经过多少时间完成化妆任务?
2,甲、乙、丙三位同学为7棵树苗浇水,由于各棵树路程的远近关系,需浇水的时间分别为分钟。现三人各自同时开始,至少几分钟全部浇完?
3,有五人来理发,按发型所用时间是和24分钟。由两位师傅同时为这五人理发,问怎样安排,使五人理发和等候的时间总和最少,最少是多少分钟?
例题5 a、b、c是三个风景点,从a出发经过b到达c要走18千米,从a经过c到b要走16千米,从b经过a到c要走24千米。相距最近的是哪两个风景点?它们之间相距多少千米?
分析根据题意可知,ab+bc=18千米,ac+bc=16千米,ab+ac=24千米,用(18+16+24)÷2就能算出ab+bc+ac=29千米。因此,ac=29-18=11千米,ab=29-16=13千米,bc=29-24=5千米。b、c两个风景点的距离最近,只相距5千米。
练习五。1,人民路两侧有三家大商店,从甲店经过乙店到丙店要走300米,从乙店经过丙店到甲店要走350米,从丙店经过甲店到乙店要走250米。哪两家店之间的距离最近?相距多少米?
2,在期中测试中,小华语文和数学平均成绩是96分,数学和作文平均成绩是88分,语文和作文平均成绩是86分。求小华的这三门功课哪门得分最高,是多少分?
3,十个参赛者的平均得分是82分,前6人的平均分是83分,后6人的平均分是80分。那么第5个和第6个人的平均分是多少分?
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