讲授：刘巨平
课题：用数学归纳法求数列通项问题。
一、学习目标：
1.理解数学归纳法的一般原理，会用数学归纳法解决一些数列问题。
2.初步掌握“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维方法。
二、重点：“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式的培养。
难点：利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立。
三、知识清单。
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n 0时命题成立；
（2）（归纳递推）假设n = k（）时命题成立，证明当时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。
1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。
2、运用数学归纳法时易犯的错误。
1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。（2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。
（3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。
四、例题。1. 已知点列an(xn,0)，n∈n*，其中x1＝0，x2＝a(a>0)，a3是线段a1a2的中点，a4是线段a2a3的中点，…an是线段an－2an－1的中点，…，1)写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)；(2)设an＝xn＋1－xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
2.设数列的前n项和为sn，对一切n∈n*，点都在函数f(x)＝x＋的图象上．
1)求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并用数学归纳法证明；
2)将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，a7，a8，a9，a10)；(a11)，(a12，a13)，(a14，a15，a16)，(a17，a18，a19，a20)；(a21)，…分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求b5＋b100的值．
3. 数列满足（），求。
4. 是否存在一个等差数列，使得对任何自然数n，等式：a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2) 都成立，并证明你的结论．
5.已知数列满足a1=0，a2=1，当n∈n时，an+2=an+1+an．求证：数列的第4m+1项(m∈n)能被3整除．
6. 对于数列，若。
1）求，并猜想的表达式；
2）用数学归纳法证明你的猜想．
高二年级强化培优班数学配餐（一）
编制：刘巨平
1．已知an＝，数列的前n项和为sn，已计算得s1＝－1，s2＝－1，s3＝1，由此可猜想sn＝( b )
a.－1 b.－1 c.－2 d.－2
2．已知sk＝＋＋k＝1,2,3，…)则sk＋1等于( c )
a．sk＋ b．sk＋－
c．sk＋－ d．sk＋＋
3．对于不等式≤n＋1(n∈n*)，某人的证明过程如下：
1°当n＝1时，≤1＋1，不等式成立。
2°假设n＝k(k∈n*)时不等式成立，即∴当n＝k＋1时，不等式成立。
上述证法( d )
a．过程全都正确 b．n＝1验得不正确。
c．归纳假设不正确 d．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确。
4．将正整数排成下表：
则在表中数字2010出现在( d )
a．第44行第75列 b．第45行第75列。
c．第44行第74列 d．第45行第74列。
5.已知数列的前n项和为sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,且满足a1=1，3sn=(n+2)an对一切自然数n都成立？试证明你的结论。
6.在各项为正的数列中，数列的前n项和sn满足。
1）求（2）由（1）猜想数列的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．
7.已知数列满足，求的值及猜想，并证明。
8.设a,b∈n，两直线l1：y=b-与l2：y=的交点为p1(x1,y1) 且对n≥2的自然数，两点(0，b)，(xn-1,0)的连续与直线y=交于点 pn(xn,yn)。
1)求p1、p2的坐标；
2)猜想pn并用数学归纳法证明。
9.已知数列中，，且满足，用数学归纳法求，10.数列中，并用数学归纳法证明。
11.已知数列｛an｝中，a1=，sn=n2·an (n∈n)
ⅰ)求a2，a3，a4的值；
ⅱ)推测数列｛an｝的通项公式，并用数学归纳法加以证明；
12. 是否存在常数a，b使等式。
1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…n-2)·3+(n-1)·2+n·1=n(n+a)(n+b)对一切。
自然数n都成立，并证明你的结论。
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