第12章数的开方。
12.1平方根与立方根（1）
教学目的。1.知识与能力：
从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点；从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性；
2.过程与方法：扣住定义去思考问题，重视解题技巧；
3.情感态度与价值观：以旧引新，以新带旧。
重点、难点。
1．重点：通过实际问题的研究，认识平方根；会用计算器求任意正数的算术平方根。
2．难点：正确区分平方根与算术平方根的关系。
教学过程。一、创设情境。
问题1 要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？
问题2 已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长．
学生探索，回答问题)
二、**归纳。
问题1解设正方形纸片的边长为xcm，依题意有：x2＝25，求出满足x2＝25的x值，就可得正方形纸片的边长．
因52＝25，(-5)2＝25，故满足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形边长只能取正值．所以x＝5．
答正方形纸片的边长为5cm．
这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25．
问题2解设圆的半径为r cm，依题意有：
r2=16π，即r2=16，求出满足r2＝16的r的值即可求出圆的半径．
因42＝16，(－4)2＝16，故满足r2＝16的r的值为4或－4，但圆的半径只能取正值．所以数r＝4．
答圆的半径为4cm．
这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16．
刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x2＝a，求x的值．
概括如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）．
在上述例1问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根．又因为(－5)2＝52＝25，所以－5也是25的一个平方根．这就是说，25的平方根有两个：5与－5． 在上述例2问题中，因为42＝16，所以4是16的一个平方根．又因为(－4)2＝42＝16，所以－4也是16的一个平方根．这就是说，16的平方根有两个： 4与－4． 所以，根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根．
三、实践应用。
例1 求100的平方根．
解因为102＝100，(-10)2＝100，除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－10，也可以说，100的平方根是±10.
学生试一试：
1) 144的平方根是什么？(2) 0的平方根是什么？(3)的平方根是什么？
(4)－4有没有平方根？为什么？请学生也编三道求平方根的题目，并给出解答．与同学交流，你发现了什么？
1．平方根的性质：
问(1) 正数的平方根是什么？．
问(2) 0的平方根是什么？
问(3) 负数有平方根吗？为什么？
请同学概括数的平方根的性质．
答一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
2.一个非负数a的平方根的表示法．
3.开平方．
求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方．
例2 将下列各数开平方：(1)49， (2)1.69．
分析开方运算就是求平方根，我们可以通过平方运算来解决．
例3 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由．
分析因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0．
四、作业。p4 1
五、反思。1.一般地，如果＝a，那么叫做a的平方根．(也叫a的二次方根)．当a＝0时，a有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根．
2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方和开平方运算有区别又有联系．区别在于，平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂；而在开平方运算中，已知的是指数和幂，求的是底数．在平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的；在开平方运算中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的．
3.平方和开平方运算又有联系，二者互为逆运算．
4.求一个数的平方根，可以通过平方运算来解决．
12.1平方根与立方根（2）
教学目的。1.知识与能力：引导学生建立清晰的概念系统，在学生正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示方法基础上，专门讨论算术平方根的概念及其表示方法；
2.过程与方法：对于表示的算术平方根中的a的条件和的本身的意义作合理性的说明，例如：面积为a(a＞0)的正方形的边长为，从而直观形象地说明算术平方根约定的合理性。
3.情感态度与价值观：针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中．
重点、难点。
1．重点：1.理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；用计算器求一个非负数的算术平方根．
2．难点：体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，进一步熟练地进行平方根与算术平方根的运算；
教学过程。一、创设情境。
1.在中，哪个有平方根？平方根是多少？哪个没有平方根？为什么？
2.0.49的平方根记作。
4.说出平方根的概念和性质．
二、**归纳。
1.算术平方根：
9的平方根是 ，9的正的平方根是 ，表示的意义是什么？
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根．记作，读作“a的算术平方根”．
这里应强调两点：
1)这里的不仅表示开平方运算，而且表示正值的根．
2)这里中有两个“正”字，即被开方数必须为正，算术平方根也是正的．
0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0．即．从以上可知，当a是正数或是0时，表示a的算术平方根．
例1 求100的算术平方根．
解因为102=100，所以100的算术平方根是10．即．
注意 100的平方根是±10，而100的算术平方根是10．
例2 求下列各数的平方根和算术平方根：
说明求一个数的平方根时，根号前的“±”号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的主要特征．
例3 求下列各式的值：
分析 (1)、(2)、(3)题主要在于理解各题所表示的含义，是求平方根还是求算术平方根，第(4)、(5)题除了分清各题所表示含义之外，还有掌握好运算顺序．
2.用计算器求一个非负数的算术平方根．
例4 用计算器求下列各数的算术平方根：
三、实践应用。
1.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？
2.求下列各数的平方根和算术平方根：
3.求下列各式的值，并说明它们各表示的意义：
4.用计算器计算：
1)； 2)； 3)（精确到0.01）．
四、作业。p4 3 p7 4
五、反思。1.平方根和算术平方根的区别：
2.平方根和算术平方根的联系：．
12.1平方根与立方根（3）
教学目的。1.知识与能力：在学习了平方根的概念的基础上学习立方根的概念，重点放在讨论立方的概念，立方根的个数的唯一性及立方根的求法；
2.过程与方法：在学生对数的立方根的概念及个数的唯一性有了一定的理解的基础上，提出数的立方根与数平方根的区别；
3.情感态度与价值观：渗透特殊──一般──特殊的思想方法．通过特例研究等式，运用归纳的思想方法，让学生理解“一个负数的立方根是它的绝对值的立方根的相反数”，运用这一关系式求一个负数的立方根．
重点、难点。
1．重点：掌握立方根的概念，掌握由立方运算，求一个数的立方根的方法；会用计算器求数的立方根。
2．难点：明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别。
教学过程。一、创设情境。
计算下列各题：
强调指出上述各题都是已知一个数，求这个数的立方，即a3＝x．其中，已知数a叫底数，它可为正数，也可为负数，也可是零；x叫做a的三次幂，同样可为正数，可为负数，也可是零．这种运算是乘方运算，是已知底数、指数，求幂的运算．
问题现有一只体积为216 cm3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？
分析上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216．
解设正方体纸盒的棱长为xcm，则。
因为63＝216，所以x＝6．
答正方体的棱长应为6 cm．
二、**归纳。
问这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题？从这里可以抽象出一个什么数学概念？
答已知乘方指数和3次幂，求底数，也就是“已知某数的立方，求某数”．即x3＝a，a是已知数，求x．
1.立方根的概念：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(cube root)（也叫做三次方根）．
试一试(1)27的立方根是什么？(2)－27的立方根是什么？
3)0的立方根是什么？请学生也编三道求立方根的题目，并给出解答．
2.立方根的表示方法：
3.开立方：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求．
三、实践应用。
例1 求下列各数的立方根：
根据上述练习提问：
1)一个正数有几个立方根？是否任何负数都有立方根？如都有，一个负数有几个立方根？0的立方根是什么？
启发学生得出立方根的性质，并通过下表与平方根的有关性质进行比较．
2)一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？
例2 用计算器求下列各数的立方根：
分析用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键．若被开方数为负数，“－号的输入可以按，也可以按．
四、作业。p7 1.2.5
五、反思。请思考下面的问题：
1.什么叫一个数的立方根？怎样用符号表示数a的立方根？a的取值范围是什么？
2.数a的立方根与数a的平方根有什么区别？
3.求一个数的立方根，可以通过立方运算来求．
12.2实数与数轴（1）
教学目的。1.知识与能力：了解实数的意义，能对实数进行分类；
2.过程与方法：了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数；
3.情感态度与价值观：会比较两个实数的大小．
重点、难点。
1．重点：通过探索，使学生从数和形两方面体会到无理数可以在数轴上找到一个对应点，从而认识到实数和数轴上的点一一对应；
2．难点：通过计算器辅助，能比较两个无理数的大小．
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五 小结 什么是分式？什么是有理式？六 作业 p5习题17.1第 题，第3题 2 4 七 教学反思 通过分式概念的教学，让学生懂得了什么时分式，知道了分式与整式的区别，了解了分式成立的条件，为以后的学习打好了基础。16.1.2 分式的基本性质。教学目标 1 知识与技能 掌握分式的基本性质，掌握分式约...
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