第2章检测题。
时间：120分钟满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2016·舟山)在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是( b )
2．下列命题中，逆命题正确的是( b )
a．若a＝b，则|a|＝|b| b．两直线平行，同位角相等。
c．全等三角形的对应角相等 d．直角都相等。
3．如图，在△abc中，∠c＝90°，bd平分∠abc，cd＝3，则点d到ab的距离是( c )
a．5 b．4 c．3 d．2
(第3题图)) 第5题图)) 第7题图)) 第9题图))
4．下列条件中，能判定三角形是等腰三角形的是( c )
a．三角形中有两个角为30°，60° b．三角形中有两个角为40°，80°
c．三角形中有两个角为50°，80° d．三角形中有两个角为锐角。
5．如图所示，有以下三个条件：①ac＝ab；②ab∥cd；③∠1＝∠2.从这三个条件中任选两个作为假设，另一个作为结论，则组成真命题的个数为( d )
a．0 b．1 c．2 d．3
6．(绍兴市期中)在rt△abc中，∠c＝90°，ac＝9，bc＝12，则点c到ab的距离是( a )
a. b. c. d.
7．如图，在△abc中，∠a＝36°，ab＝ac，bd是△abc的角平分线．若在边ab上截取be＝bc，连结de，则图中等腰三角形共有( d )
a．2个 b．3个 c．4个 d．5个。
8．(2016·莱芜)已知，在△abc中，ab＝6，ac＝8，bc＝11，任作一条直线将△abc分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有( c )
a．3条 b．5条 c．7条 d．8条。
9．(富阳区期中)如图，ad＝bc＝ba，那么∠1与∠2之间的关系是( b )
a．∠1＝2∠2 b．2∠1＋∠2＝180° c．∠1＋3∠2＝180° d．3∠1－∠2＝180°
10．(江东区期末)勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠bac＝90°，ab＝3，ac＝4，点d，e，f，g，h，i都在长方形klmj的边上，则长方形klmj的面积为( c )
a．90 b．100
c．110 d．121
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．命题“直角三角形中两锐角互余”的逆命题是__有两个角互余的三角形是直角三角形__，它是__真__命题．
12．等腰三角形的两条边长分别是5和11，则这个等腰三角形的周长为__27__．
13．如图所示，pa⊥oa，pb⊥ob，垂足分别是点a和点b，点d是op的中点，则da__＝db.(填“>”或“<”
(第13题图)) 第14题图)) 第15题图)) 第16题图))
14．如图，ab＝ac＝ad，∠bac＝50°，∠dac＝30°，则∠bdc＝__25°__
15．如图，等边△abc的边ab上一点p，作pe⊥ac于点e，q为bc延长线上的一点，当pa＝cq时，连结pq交ac于点d，则：①pd＝dq；②∠q＝30°；③de＝ac.其中正确的结论是__①把所有正确结论的序号都写在横线上)
16．(兰溪市期末)如图，在△abc中，ab＝bc＝4，ao＝bo，p是射线co上的一个动点，∠aoc＝60°，则当△pab为直角三角形时，ap的长为__或或2__．
三、解答题(共66分)
17．(6分)如图，在rt△abc的斜边ab上取两点d，e，使ad＝ac，be＝bc.当∠b＝60°时，求∠dce的度数．
解：∵∠acb＝90°，∠b＝60°，∴a＝30°.∵ad＝ac，∴∠acd＝∠adc＝(180°－∠a)＝75°.
∵bc＝be，∠b＝60°，∴bce是等边三角形，∴∠bce＝60°，∴dce＝∠acd＋∠bce－∠acb＝75°＋60°－90°＝45°.
18．(6分)如图，已知ad，af分别是两个钝角△abc和△abe的高，如果ad＝af，ac＝ae.
求证：bc＝be.
证明：先证△abd≌△abf(hl)，得bd＝bf，再证△acd≌△aef(hl)，得cd＝ef，∴bd－cd＝bf－ef，即bc＝be.
19．(7分)(拱墅区期中)如图，某轮船以20海里/小时的速度自西向东航行，在a处测得有一小岛p在北偏东60°的方向上；航行了2小时到达b处，这时测得该小岛p在北偏东30°的方向上，求∠apb的度数及轮船在b处时与小岛p的距离．
解：∵∠dap＝60°，∴pab＝90°－60°＝30°.∵pbe＝30°，∴abp＝90°＋30°＝120°.
∴apb＝180°－∠pab－∠abp＝180°－30°－120°＝30°，∴apb的度数为30°.∵pab＝∠apb＝30°，∴pab为等腰三角形，∴pb＝ab＝20×2＝40(海里)，∴轮船在b处时与小岛p的距离为40海里．
20．(7分)如图，在四边形abcd中，已知ab＝5，bc＝3，cd＝6，ad＝.若ac⊥bc，求证：ad∥bc.
证明：在△abc中ac⊥bc，根据勾股定理，得ac2＝ab2－bc2＝52－32＝16，∵在△acd中，ac2＋ad2＝16＋20＝36，cd2＝36，∴ac2＋ad2＝cd2，∴根据勾股定理的逆定理，得△acd为直角三角形，∴ac⊥cd，∴ad∥bc.
21．(8分)(2016·益阳)如图，在△abc中，ab＝15，bc＝14，ac＝13，求△abc的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
解：在△abc中，ab＝15，bc＝14，ac＝13，设bd＝x，则cd＝14－x，由勾股定理，得ad2＝ab2－bd2＝152－x2，ad2＝ac2－cd2＝132－(14－x)2，故152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.∴ad＝12.
∴s△abc＝bc·ad＝×14×12＝84.
22．(10分)(南浔区期中)如图，已知在△abc中，∠abc＝∠acb，以点b为圆心，bc长为半径的弧分别交ac，ab于点d，e，连结bd，ed.
1)写出图中所有的等腰三角形；
2)若∠aed＝114°，求∠abd和∠acb的度数．
解：(1)∵∠abc＝∠acb，∴ab＝ac，∴△abc是等腰三角形；∵be＝bd＝bc，∴△bcd，△bed是等腰三角形；∴图中所有的等腰三角形有：△abc，△bcd，△bed.
2)∵∠aed＝114°，∴bed＝180°－∠aed＝66°.∵bd＝be，∴∠bde＝∠bed＝66°.∴abd＝180°－66°×2＝48°.
设∠acb＝x°，∴abc＝∠acb＝x°.∴a＝180°－2x°.∵bc＝bd，∴∠bdc＝∠acb＝x°.
又∵∠bdc为△abd的外角，∴∠bdc＝∠a＋∠abd.∴x＝180－2x＋48，解得x＝76.∴∠acb＝76°.
23．(10分)在等边△abc中，点e是ab上的动点，点e与点a，b不重合，点d在cb的延长线上，且ec＝ed.
1)如图1，当点e是ab的中点，求证：bd＝ae.
2)如图2，若点e不是ab的中点时，(1)中的结论“bd＝ae”能否成立？若不成立，请直接写出bd与ae数量关系；若成立，请给予证明．
解：(1)证明：∵△abc是等边三角形，∴∠abc＝∠acb＝60°，∵点e是ab的中点，∴ce平分∠acb，ae＝be.
∴∠bce＝30°.∵ed＝ec，∴∠d＝∠bce＝30°.∵abc＝∠d＋∠bed，∴∠bed＝30°.
∴d＝∠bed，∴bd＝be.∴ae＝db.(2)ae＝db.
理由：过点e作ef∥bc交ac于点f，图略．∴∠aef＝∠abc，∠afe＝∠acb.∵△abc是等边三角形，∴∠abc＝∠acb＝∠a＝60°，∴aef＝∠abc＝60°，∠afe＝∠acb＝60°，即∠aef＝∠afe＝∠a＝60°.
∴aef是等边三角形．∴∠dbe＝∠efc＝120°，∠d＋∠bed＝∠fce＋∠ecd＝60°.∵de＝ec，∴∠d＝∠ecd.∴∠bed＝∠ecf，∴△deb≌△ecf(aas)．∴db＝ef，∴ae＝bd.
24．(12分)(义乌市期末)(1)如图1，已知△abc，分别以ab，ac为边向△abc外作等边△abd和等边△ace，连结be，cd.请你完成图形，并证明：be＝cd；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
2)如图2，已知△abc，以∠bad，∠cae为直角向外作等腰rt△bad和等腰rt△cae.连结be，cd，be与cd有什么数量关系？简单说明理由；
3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点b，e的距离，已经测得∠abc＝45°，∠cae＝90°，ab＝bc＝100米，ac＝ae.求be的长．
解：(1)完成作图，字母标注正确．
证明：∵△abd和△ace都是等边三角形．∴ad＝ab，ac＝ae，∠bad＝∠cae＝60°，∴bad＋∠bac＝∠cae＋∠bac，即∠cad＝∠eab，∴△cad≌△eab，∴be＝cd.(2)be＝cd.
理由同(1)：∵bad和△cae均为等腰直角三角形，∴ad＝ab，ac＝ae，∠bad＝∠cae＝90°.∴cad＝∠eab.
∴△cad≌△eab，∴be＝cd.
3)由(1)(2)的解题经验可知，过点a向外作等腰直角三角形abd，连结cd，如图所示，∠bad＝90°，则ad＝ab＝100，∠abd＝45°，∴bd＝，则由(2)可得be＝cd.∵∠abc＝45°，∴dbc＝90°，在rt△dbc中，bc＝100，bd＝.∴cd＝＝.
be的长为米．
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