18.1 勾股定理（四）
教学时间第四课时。
三维目标。一、知识与技能。
1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．
2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
二、过程与方法。
1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，发展学生灵活勾股定理解决问题的能力．
2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的动手操作能力和创新精神．
3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．
三、情感态度与价值观。
1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．
教学重点。在数轴上寻找表示，，，这样的表示无理数的点．
教学难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．
教具准备多**课件．
教学过程。一、创设问题情境，引入新课。
活动1【例1】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5 000米，飞机每小时飞行多少千米？
例2】如右图所示，某人在b处通过平面镜看见在b正上方5米处的a物体，已知物体a到平面镜的距离为6米，向b点到物体a的像a′的距离是多少？
【例3】在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？
设计意图：[**：学科网]
让学生进一步体会勾股定理在生活中的应用的广泛性，同时经历勾股定理在物理中的应用，由此可知数学是物理的基础，方程的思想是解决数学问题的重要思想．[**：学科网]
师生行为：先由学生独立思考，完成，后在小组内讨论解决，教师可深入到学生的讨论中去，对不同层次的学生给予辅导．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生是否自主完成上面三个例题；
②学生是否有综合应用数学知识的意识，特别是学生是否有在解决数学问题过程中的方程的思想．
师生共析：例1：分析：根据题意，可以画出右图，a点表示男孩头顶的位置，c、b点是两个时刻飞机的位置，∠c是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．
解：根据题意，得rt△abc中，∠c=90°，ab=5 000米，ac=4 800米．由勾股定理，得ab2=ac2+bc2．即5 0002=bc2+4 8002，所以bc=1 400米．[**：学科网zxxk]
飞机飞行1 400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1 400×6×60=50 400米=504千米，即飞机飞行的速度为504千米/时．
评注：这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角三角形等三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决．同时注意，在此题中小孩是静止不动的．
例2：分析：此题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识．
解：如例2图，由题意知△aba′是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知：
aa′=2×6=12米，ab=5米；
在rt△a′ab中，a′b2=aa′2+ab2=122+52=169=132米．
所以a′b=13米，即b点到物体a的像a′的距离为13米．
评注：本题是以光的反射为背景，涉及到勾股定理、轴对称等知识．由此可见，数学是物理的基础．
例3：分析：在此问题中，要注意水草的长度与水深的关系，还要注意水草站立时和吹到一边，它的长度是不变的．
解：根据题意，得到右图，其中d是无风时水草的最高点，bc为湖面， ab是一阵风吹过水草的位置，cd=3分米，cb=6分米，ad=ab，bc⊥ad．
所以在rt△acb中，ab2=ac2+bc2，即（ac+3）2=ac2+62，ac2+6ac+9=ac2+36.6ac=27，ac=4.5，所以这里的水深为4.5分米．
评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要．
二、讲授新课。
活动2问题：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出的点吗？的点呢？
设计意图：上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们只能找到数轴上的一些表示有理数的点，而对于象，，…这样的无理数的数点却找不到，学习了勾股定理后，我们把，，…可以当直角三角形的斜边，只要找到长为，的线段就可以，勾股定理的又一次得到应用．
师生行为：学生小组交流讨论。
教师可指导学生寻找象，，…这样的包含在直角三角形中的线段．
此活动，教师应重点关注：
①学生能否找到含长为，这样的线段所在的直角三角形；
②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；
③学生能否积极主动地交流合作．
师：由于在数轴上表示的点到原点的距离为，所以只需画出长为的线段即可．
我们不妨先来画出长为的线段．
生：长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边．
师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？
生：设c=，两直角边为a，b，根据勾股定理a2+b2=c2即a2+b2=13．若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13=4+9，a2=4，b2=9，则a=2，b=3．所以长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．
师：下面就请同学们在数轴上画出表示的点．
生：步骤如下：
1．在数轴上找到点a，使oa=3；
2．作直线l垂直于oa，在l上取一点b，使ab=2；
3．以原点o为圆心，以ob为半径作弧，弧与数轴交于点c，则点c即为表示的点．
活动3练习：在数轴上作出表示的点．
设计意图：进一步巩固在数轴上找表示无理数的点的方法，熟悉勾股定理的应用．
师生行为：由学生独立思考完成，教师巡视．
此活动中，教师应重点关注：
①学生能否积极主动地思考问题；
②能否找到斜边为，另外两个角直边为整数的直角三角形．
生：是两直角边为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示的点如右图：
三、巩固提高。
活动4问题：（1）根据勾股定理，还可以作出长为无理数线段，你能做出哪些长为无理数的线段呢？
2）欣赏下图，你会得到什么启示？
设计意图：进一步熟悉直角三角形的三边关系，让学生在学习的过程中欣赏和创造美．
师生行为：学生分组活动，交流讨论．
教师参与于学生的小组活动中去．
本活动教师应重点关注：
①能否将无理数转化为某个直角三角形的斜边长．
②能否积极参与，欣赏数学美．
生：在上述方程找到了长度为，、、的线段，因此在数轴上便可以表示出来，．教学时可以先画出，，…之后，再画，画法不唯一，如下图：
四、课时小结。
活动5问题：你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数并理解数轴上的点与实数一一对应．
设计意图：这种形式的小结，激发了学生主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，从而使小结活动不流于形式而具有实效性，为学生提供了更好的空间以梳理自己在本节课中的收获．
小结活动既要注重引导学生将数学知识体系化又要从能力、情态态度等方面关注学生对课堂的整体感受．
师生行为：学生小组内交流、反思．
教师巡视指导．
在活动5中教师应重点关注：
①不同层次学生对本节知识的认知程度；
②学生独立面对困难，克服困难的能力．
板书设计。18．1 勾股定理（四）
1．在数轴上画出表示的点，分以下四步完成；
（1）将在数轴上画出表示的点的问题转化为画出长为的线段的问题。
（2）由长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，联想到长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边．
（3）通过尝试发现，长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．
（4）画出长为的线段，从而在数轴上画出表示的点．
活动与**。
河海滨馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设红地毯，主楼梯宽4米，购货员在市场中选中一种宽度合适的地毯，每平方米50元，帮他计算一下，购买铺这段楼梯的地毯，大约需多少钱？
过程：此题看似是在一个直角三角形中求斜边，其实不然，由于楼梯的水平方向和竖直方向都需要铺，所以水平方向长度和即为6.4m，竖直方向长度和即为4.8m．
结果：地毯共需：4.8+6.4=11.2（m）．
面积为11.2×4=44.8（m2）．
44.8×50=2 400（元）．
所以购买地毯共需2 440元．
习题详解。习题18．1
1．ac==17．
2．解：设旗杆折断之前有xm，根据勾股定理，得[**。
（x-6）2=62+82，（x-6）2=100．
因为x-6>0，所以x-6=10，∴x=16．
所以旗杆折断之前的高度为16m．
3．解：根据勾股定理，得。
ab==2.5，即ab的长为2.5cm．
4．解：ac=40-21=19cm，bc=60-21=39（cm）．
根据勾股定理，得。
ab=≈43.4（mm）．
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