本试卷共五大题，26小题，满分150分）
一、选择题（本题共8小题；每小题3分，共24分）
1. 在下列图形中，为中心对称图形的是( )
a. 等腰梯形 b. 平行四边形 c. 正五边形 d. 等腰三角形。
2. 如图， 中，， 是边上的高线，，则等于( )
a. b. c. d.
3. 如果关于的二次方程有两个相等的实数根，那么以正数、、为边长的三角形是( )
a. 锐角三角形 b. 钝角三角形 c. 直角三角形 d. 任意三角形。
4. 如图，在中，，．分别以， 为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于( )
a. b. c. d.
5. 如图，点在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边， 分别交， 于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为( )
a. b. c. d.
2题图4题图5题图）
6. 在面积为的平行四边形中，过点作于点，作于点，若，，则的值为( )
a. b.
c. 或 d. 或。
7. 一个寻宝游戏的寻宝通道如图 1 所示，四边形为矩形，且，为记录寻宝者的行进路线，在的中点处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为，寻宝者与定位仪器之间的距离为，若寻宝者匀速行进，且表示与的函数关系的图象大致如图 2 中的实线所示，则寻宝者的行进路线可能为( )
a. b.
c. d.
8. 在平面直角坐标中，直线经过原点，且与轴正半轴所夹的锐角为，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，以、为邻边作平行四边形；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，以、为邻边作平行四边形；；按此作法继续下去，则的坐标是( )
a. b.
c. d.
二、填空题（本题共8小题；每小题3分，共24分）
9. 如图所示，在矩形中，，，将按逆时针方向绕点旋转到（点，， 在同一直线上），连接，则。
10. 新园小区计划在一块长为米，宽为米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路（两条纵向、一条横向，且横向、纵向互相垂直），其余部分种花草．若要使种花草的面积达到，则甬路宽为多少米？设甬路宽为米，则根据题意，可列方程为。
11. 已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为。
12. 以线段为对角线的四边形（它的四个顶点、、、按顺时针方向排列），已知，，；则的大小为。
13. 如图，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则的长为。
9题图10题图13题图14题图）
14. 如图，在中，，，点在上，将沿折叠，使点落在边上的点处，则的长为。
15. 如图，在中，， 为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．若，，则四边形的周长为。
16. 在直角坐标系中，直线与轴交于点，按如图方式作正方形在直线上，点，， 在轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，，，则的值为用含的代数式表示， 为正整数）．
（15题图） （16题图）
三、解答题（本大题共4小题；其中题、19各9分，20题12分，共39分）
17. 已知关于的一元二次方程．
1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
2）已知， 是原方程的两个根，且，求的值，并求出此时方程的根．
18. 如图， 是的中线，点是的中点，．
1）求证：；
2）若，试判断四边形的形状，并说明理由．
19. 某校开展“人人读书”活动．小明为调查同学们的阅读兴趣，抽样调查了名学生在本校图书馆的借阅情况（每人每次只能借阅一本图书），绘制了统计图 1．并根据图书馆各类图书所占比例情况绘制了统计图 2，已知综合类图书有本．
1）补全统计图 1；
2）该校图书馆共有图书本；
3）若该校共有学生人，试估算，借阅文学类图书的有人．
20. 如图，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，是边上一点且不与重合，连接，过点作，交轴于点，交轴于点，过点作交轴于点．
1）若为等腰直角三角形，求点的坐标；
2）若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式．
四、解答题（本大题共3小题；其中题各10分，23题8分，共28分）
21. 已知中， 为的中点，直线绕点旋转，过，， 分别作于点， 于点， 于点．
1）当直线经过点时，如图 1，求证：
2）当直线不经过点，旋转到如图 2 、图 3 的位置时，线段，， 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．
22. 小慧和小聪沿图1中的景区公路游览，小慧乘坐车速为的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：
00回到宾馆．小聪骑自行车从飞瀑出发前往宾馆，速度为，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆．图2中的图象分别表示两人离宾馆的路程与时间的函数关系．试结合图中信息回答：
1）小聪上午几点钟从飞瀑出发？
2）试求线段， 的交叉点的坐标，并说明它的实际意义；
3）如果小聪到达宾馆后，立即以的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？
23. 在平面直角坐标系中，图形的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴， 轴，图形的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为，我们称常数为图形的投影比．如图 1，矩形为的投影矩形，其投影比．
1）如图 2，若点，，则投影比的值为。
2）已知点，在函数（其中）的图象上有一点，若的投影比，求点的坐标．
3）已知点，在直线上有一点和一动点，若的投影比，则点的横坐标的取值范围直接写出答案）．
五、解答题（本大题共3小题；其中24题11分题各12分，共35分）
24. 在中，，，为斜边上的中线，将绕点顺时针旋转得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点． 与相交于点．
1）如图 1，直接写出与的数量关系。
2）如图 2，， 分别为， 的中点．求证：；
3）连接，，如图 3，求在此旋转过程中，线段， 与之间的数量关系。
25. 小伟遇到这样一个问题：如图 1，在（其中是一个可以变化的角）中，，，以为边在的下方作等边，求的最大值．
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点为旋转中心将逆时针旋转得到，连接，当点落在上时，此题可解（如图 2）．
1）请你回答： 的最大值是。
2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图 3，等腰．边， 为内部一点，请写出求的最小值的解题思路．
提示：要解决的最小值问题，可仿照题目给出的做法．把绕点逆时针旋转，得到．
① 请画出旋转后的图形。
② 求的最小值。
26. 一次函数与正比例函数的图象交于点，且与轴交于点．
1）求点和点的坐标；
2）过点作轴于点，过点作直线轴．动点从点出发，以每秒个单位长的速度，沿的路线向点运动；同时直线从点出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线交轴于点，交线段或线段于点．当点到达点时，点和直线都停止运动．在运动过程中，设动点运动的时间为秒．
当为何值时，以、、为顶点的三角形的面积为？
是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
第一部分。1. b 2. b 【解析】提示：由已知得，则．
3. c 【解析】，整理得．
方程有两个相等的实数根，即．
以正数、、为边长的三角形是直角三角形．
4. a 【解析】．
5. d 解析】作于点， 于点．
易证（），且四边形为正方形，所以．
由题意可得，所以．
所以．6. d 【解析】①由题意画图如下：
平行四边形面积为，．
由题意画图如下：
平行四边形面积为，．
7. b 【解析】， 为中点，由图2可知，寻宝者与定位仪器之间的距离的图象是对称的，而且点到的距离等于．
寻宝者不能从点出发，（因为图2中虚线上面部分最高点和下面部的最低点到虚线的距离不相等），而且寻宝者的路线不会经过点．
寻宝者行进的路线应该是．
8. c 【解析】直线经过原点，且与轴正半轴所夹的锐角为，直线的解析式为．
轴，点，可设点坐标为，将代入，解得，点坐标为，在中，平行四边形中，点的坐标为，即；
由，解得，点坐标为，．
在中，平行四边形中，点的坐标为，即；
同理，可得点的坐标为，即；
以此类推，则的坐标是．第二部分。
解析】解析】如图，草坪可整理为一个矩形，长为米，宽为米，即列的方程为．
解析】设一次函数解析式为．
一次函数的图象与直线平行，把代入得，解得，一次函数解析式为．
12. 或。
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