18．1 勾股定理（四）
一、教学目标。
1．会用勾股定理解决较综合的问题。
2．树立数形结合的思想。
二、重点、难点。
1．重点：勾股定理的综合应用。
2．难点：勾股定理的综合应用。
3．难点的突破方法：
数形结合，正确标图，将条件反应到图形中，充分利用图形的功能和性质。
分类讨论，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力。
作辅助线，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力。
优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。
三、例题的意图分析。
例1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式bc2-bd2=ac2-ad2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
例2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角。让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生清楚作辅助线不能破坏已知角。
例3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中注意条件的合理运用。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力。
例4（教材p76页**3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
四、课堂引入。
复习勾股定理的内容。本节课**勾股定理的综合应用。
五、例习题分析。
例1（补充）1．已知：在rt△abc中，∠c=90°，cd⊥bc于d，∠a=60°，cd=，求线段ab的长。
分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：
3个直角三角形，三个勾股定理及推导式bc2-bd2=ac2-ad2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求ab，可由ab=bd+cd，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出bd=3和ad=1。
或欲求ab，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出ac=2和bc=6。
例2（补充）已知：如图，△abc中，ac=4，∠b=45°，∠a=60°，根据题设可知什么？
分析：由于本题中的△abc不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠acb=75°。在学生充分思考和讨论后，发现添置ab边上的高这条辅助线，就可以求得ad，cd，bd，ab，bc及s△abc。
让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？
小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。并指出如何作辅助线？
解略。例3（补充）已知：如图，∠b=∠d=90°，∠a=60°，ab=4，cd=2。求：四边形abcd的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结ac，或延长ab、dc交于f，或延长ad、bc交于e，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。
解：延长ad、bc交于e。
∠a=∠60°，∠b=90°，∴e=30°。
ae=2ab=8，ce=2cd=4，be2=ae2-ab2=82-42=48，be==。
de2= ce2-cd2=42-22=12，∴de==。
s四边形abcd=s△abe-s△cde=ab·be-cd·de=
小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。
例4（教材p76页**3）
分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
变式训练：在数轴上画出表示的点。
六、课堂练习。
1．△abc中，ab=ac=25cm，高ad=20cm,则bcs△abc
2．△abc中，若∠a=2∠b=3∠c，ac=cm，则∠a度，∠b度，∠c度，bcs△abc
3．△abc中，∠c=90°，ab=4，bc=，cd⊥ab于d，则accdbdads△abc
4．已知：如图，△abc中，ab=26，bc=25，ac=17，求s△abc。
七、课后练习。
1．在rt△abc中，∠c=90°，cd⊥bc于d，∠a=60°，cd=，ab= 。
2．在rt△abc中，∠c=90°，s△abc=30，c=13，且a＜b，则a= ，b= 。
3．已知：如图，在△abc中，∠b=30°，∠c=45°，ac=，求（1）ab的长；（2）s△abc。
4．在数轴上画出表示－的点。
课堂练习：1．30cm，300cm2；
4．作bd⊥ac于d，设ad=x，则cd=17-x，252-x2=262-（17-x）2，x=7，bd=24，s△abc=ac·bd=254；课后练习：
3．提示：作ad⊥bc于d，ad=cd=2，ab=4，bd=，bc=2+，s△abc= =2+；
4．略。
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