第二讲数学竞赛中的二次根式（一）
根式在数学竞赛中比较常见，它涉及面广，根式的性质是根式运算及等式恒等变形的基础。一竞赛基础知识。
二次根式的性质。
4）（分母有理化），（分子有理化）
其中与称为共轭二次根式。
5）(其中为完全平方数)
二、例题解析。
1 与根式的概念相关的问题。
例1 已知实数满足，求的值。
变式练习 1）已知实数满足等式。
求的值。2) 若，求的值。
例2 已知实数满足，求的取值范围。
变式练习。（1）实数满足，求的值。
(2) 已知实数满足，求代数式的值。
例3 已知，求。
变式训练。已知，求的值。
例4 设为有理数，且满足方程，求的值。
变式练习。已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且满足，求的值。
2 根式性质的应用。
例4 设是三角形的三边长，化简。
变式训练。1) 已知，化简代数式。
2) 化简。
3 二次根式的计算。
例5（分母有理化） 计算
变式训练。1）化简2）化简
例6 化简
变式训练。化简
例7 化简
变式训练已知为有理数，且满足，求的值。
例8 化简
变式训练。1）化简
1）化简 2）化简
3）化简 4 含字母参数的二次根式的化简与证明。
例9 化简
拓展训练。1）化简。
2）已知，求代数式的值。
三、课后练习。
1、 已知代数式的化简结果为，求的取值范围。
2、 已知试比较与的大小。
3、 已知，求的值。
4、 若表示实数的整数部分，求式子的值。
5、 已知，求代数式的值。
八年级二次根式讲义
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