图形的平移和旋转。
一：知识点。
1．平移的定义与规律。
关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向．
（1）平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）．
（2）简单作图。
平移的作图主要关注要点：1．方向，2．距离．整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的．
2．旋转的定义与规律。
（1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．
关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向．
（2）旋转的规律。
经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
（3）简单的旋转作图： 旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：
边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．
二：练习。1．平移是由所决定。
2. 平移不改变图形的和只改变图形的。
3．钟表的分针匀速旋转一周需要60分，它的旋转中心是经过20分，分针旋转度。
4．(2023年兰州市)如图，直角梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥bc，ad = 2，将腰cd以d为中心逆时针旋转90°至de，连接ae、ce，△ade的面积为3，则bc的长为。
5、（2023年湖北省）如图，在rt△abc 中，，d、e是斜边bc上两点，且∠dae=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论，其中正确的是___
△≌△s△+s△>s△aed ；
三：例题讲解。
1、如图所示：正方形abcd中e为bc的中点，将面abe旋转后得到△cbf.
1）指出旋转中心及旋转角度．（2）判断ae与cf的位置关系．
3）如果正方形的面积为18cm2，△bcf的面积为4cm2,问四边形aecd的面积是多少？
2、如图，e、f分别是正方形abcd的边bc、cd上一点，且be＋df＝ef，求∠eaf
3、如图，已知正方形abcd的对角线ac、bd相交于o，e是ac上一点，过点a作ag⊥eb，垂足为g，ag交bd于点f，求证：oe=of。
4．如图，已知正方形abcd，点e、f分别在bc、cd上，且ae=be+fd，请说出af平分∠dae的理由。
5、如图，有边长为1的等边三角形abc和顶角为120°的等腰△dbc，以d为顶点作∠mdn=60°角，两边分别交ab、ac于m、n的三角形，连结mn，（1）、求证mn=bm+cn；（2）、试说明△amn的周长为2．（3）、若m,n分别在ab,ca的延长线上，则（1）中结论还成立吗？如果不成立，mn,bm,cn又满足什么关系？
6、如图，正方形纸片abcd和正方形efdh边长都是1，点e是正方形abcd的中心，在正方形efgh绕着点e旋转过程中，1）观察两个正方形的重叠部分的面积是否保持不变？
2）如果保持不变，求出它的值；否则，请简要说明理由。
7、操作：在△abc中，ac＝bc＝2，∠c＝900，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边ab的中点p处，将三角板绕点p旋转，三角板的两直角边分别交射线ac、cb于d、e两点．图①、②是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究：
1）三角板绕点p旋转，观察线段pd和pe之间有什么数量关系？并结合图②加以证明．
2）三角板绕点p旋转，△pbe能否为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△pbe为等腰三角形时ce的长）；若不能，请说明理由．
8、如图，在六边形abcdef中，已知ab//de,af//cd,bc//fe,ab=de,af=cd,bc=fe，对角线fd⊥bd,fd=24cm，bd=18cm，你能求出六边形abcdef的面积吗？
9、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世，著名的大峡谷a和世界级风景保护区星斗山b位于笔直的沪渝高速公路x同侧，ab=50km，a,b到直线x的距离分别为10km，40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区p，向a,b两景区运送游客。小民设计了两种方案，方案一：如图一，ap于直线x垂直，垂足为p，p到a,b的距离之和为s1=pa+pb
方案二：如图二，点a关于直线x的对称点是d,连接bd交直线x于p,p到a,b距离之和为s2=pa+pb.
1） 求s1，s2，并比较大小2）请说明s2=pa+pb的值最小。
3）如图三，拟建的恩施到张家界高速公路y与沪渝高速公路垂直，建立图形的直角坐标系，b到直线y的距离为30km，请你在x旁和y旁各建一服务区p,q，使p,a,b,q组成的四边形的周长最小，并求最小值。
10、如图（1），已知△abc是边长为2的等边三角形，d,e,f分别为ab,ac,bc边上的中点，连接de,df,ef.将△ade向下平移，使得a点与c点重合，将△bdf向右平移，使得b点与c点重合，（如图2）。
1）设△ade, △bdf, △efc的面积分别为s1,s2,s3,则，s1+s2+s3___用》,=填空）
2）如图3，已知∠aob=∠cod=∠eof=60°,ad=cf=be=2,设△abo, △cdo, △efo的面积分别为s1,s2,s3。问：上述结论是否成立？
若成立，请给出证明，若不成立，说明理由。
图1图2图3
11、已知，如图△abc中，∠acb=90°，ac=bc，p是△abc内一点，且pa=3，pb=1，pc=2，求∠bpc。
巩固练习。1、△abc平移到△def的位置，（即点a与点d，点b与点e，点c与点f，是对应点）有下列说法：①ab=de;②ad=be;③be=cf;④bc=ef其中说法正确个数有。
a.1个b.2个c.3个d.4个。
2、把正方形abcd沿着对角线ac的方向移动到正方形a′b′c′d′的位置，它们的重叠部分（如图1中的阴影部分）的面积是正方形abcd面积的一半，若ac=，则正方形移动的距离是aa′是___
3．如图2是两张全等的图案，它们完全重合在叠放在一起按住下面的图案不动，将上面图案绕点o顺时针旋转，至少旋转___度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．
4、如图，两个全等的正六边形abcdef、pqrstu，其中点p位于正六边形abcdef
的中心，如果它们的面积均为1，则阴影部分的面积是。
5、如图11-2所示，rt△a′b′c′是△abc向右平移3cm所得，已知∠b＝60°，b′c＝5cm，则∠cb′ccm．
6.如图所示，直角△aob顺时针旋转后与△cod重合，若∠aod＝127°，则旋转角度是
7．如图，把一个长方形纸片沿ef折叠后，点d、c分别在d′、c′位置，若∠efb=65°，则∠aed
8．四边形abcd为长方形，△abc旋转后能与△aef重合，旋转中心是点。
旋转了多少度连结fc，则△afc是三角形。
9． 如图11-5，o是等边△abc内一点，将△aob绕b点逆时针旋转，使得b、o两点的对应点分别为c、d，则旋转角为图中除△abc外，还有等边三形是。
12．如图11-6，rt△abc中，p是斜边bc上一点，以p为中心，把这个三角形按逆时针。
方向旋转90°得到△def，图中通过旋转得到的三角形还有。
13、(青岛市)如图，p是正三角形 abc 内的一点，且pa＝6，pb＝8，pc＝10．若。
将△pac绕点a逆时针旋转后，得到△p'ab ，则点p与点p' 之间的距离为多少，∠apb？
13、如图①，在正方形abcd中，e是ad的中点，f是ba延长线上的一点，af=ab，1）求证：△abe≌△adf。 （2）阅读下列材料：
如图②，把△abc沿直线平移线段bc的长度，可以变到△ecd的位置；如图③，以bc为轴把△abc翻折180°，可以变到△dbc的位置；如图④，以点a为中心，把△abc旋转180°，可以变到△aed的位置，像这样其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换。
请回答下列问题：
1>在图①中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△abe变到△adf的位置？
2>指出图①中线段be与df之间的关系。
14、已知：正方形abcd中，∠man=45°，∠man绕点a顺时针旋转，它的两边分别交cb，dc（或它们的延长线）于点m，n．当∠man绕点a旋转到bm=dn时（如图1），易证bm+dn=mn．
1）当∠man绕点a旋转到bm≠dn时（如图2），线段bm，dn和mn之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
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