正弦和余弦。
基础知识精讲】
1.基本概念。
rt△abc，∠c为直角，我们把锐角a的对边与斜边的比叫做∠a的正弦，记作sina.把∠a的邻边和斜边的比叫做∠a的余弦，记作cosa,即，sina=,cosa=.
如图6-1，sina=,cosa=.注意：正弦、余弦是一种比值，当∠a确定时，这个比值是不变的。
2.取值范围。
由于直角三角形中斜边大于直角边，从而有：0＜＜1，0＜＜1，所以当∠a为锐角时，0＜sina＜1，0＜cosa＜1.
3.特殊角的正、余弦的数值。
由直角三角形的有关性质及正、余弦定义，可以推出：sin30°=,sin45°=,sin60°=;cos30°=,cos45°=,cos60°=
4.互余角的正、余弦函数之间的关系。
由图6-1知，sina=,cosb=,从而可得：sina=cosb.同理可证：cosa=sinb，又a+b=
90°，∴sina=cos(90°-a),cosa=sin(90°-a)(a为锐角).
5.在0°—90°之间正、余弦值的变化情况。
从正、余弦表中可以看出：当角度在0°—90°是变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的减小(或增大)而增大(或减小).
重点难点解析】
本节的重点是理解正弦函数和余弦函数的概念，熟记特殊三角函数值。难点在于搞清sina、ocsa的意义，它提示了直角三角形边角之间内在联系，是后面解直角三角的基础。
例1 如图6-2，在rt△abc中，∠c=90°，ac=8，bc=4.
1)求sina、cosa的值；
2)sin2a+cos2a的值；
3)比较sina与cosb的大小。
解：(1)∵∠c=90°，ac=8，bc=4
ab===4
sina= cosa=
2)sin2a+cos2a=cos2a=()2+()2=1
3)∵cosb=,sina=
sina=cosb(或由公式得出)
分析：熟练地依据正弦函数、余弦函数的概念求直角形中各锐角的正、余弦值是本节的基本技能；此题为求正、余弦值，必先求出斜边的长，再由定义得出，在问题(3)中我们以具体实例验证了公式sina=cos(90°-a).
例2 求下列各式的值。
1)sin30°·sin45°+cos30°·cos45°
2) sin45°+sin30°·cos60°
解：(1)sina30°·sin45°+cos30°·cos45°=
2) sin45°+sin30°·cos60°=×
简析：熟记特殊角的正、余弦值有利于快速、准确的计算。
例3 已知sin35°=0.5736,sin67°18′=0.9225,求cos60°cos55°-2cos22°42′的值。
解：∵cos55°=cos(90°-35°)=sin35°=0.5736
cos22°42′=sin67°18′=0.9225
cos60°55′-2cos22°42′
简析：运用公式sina=cos(90°-a)解题，明确互余角之间三角函数关系。
例4 不查表，比较sin46°与cos46°的大小。
解：∵46＞45 ∴sin46°＞sin45°,cos46°＜cos45°
又sin45°==cos45°∴sin46°＞cos46°
简析：45°的正、余弦值相等以及0°—90°之间正、余弦值变化情况是解决本题的关键。
例5 已知rt△abc中∠c=90°，∠b=60°，a+b=6,求a、b、c
解：∵sinb=sin60°=,b=c
cosb=cos60°= a=c②
又知a+b=6③
由①②③知：a=3-3,b=9-3,c=6-6
分析：此题由角b的正、余弦的定义得出等式①②，再由已知③解方程解决问题。
课本难题解答】
1 证明：sin2a+cos2a=1(a为锐角)
证明：在rt△abc中(∠c=90°)，sina=,cosa=
sin2a+cos2a==1
简析：用定义及勾股定理直接解题。
2 已知sina=，求cosa的值。(∠a为锐角)
解：∵∠a为锐角，∴cosa＞0,又sin2a+cos2a=1
cosa==
简析：本题有两点值得注意，一是sina与cosa之间的关系(即其平方和为1)，二是由等式sin2a+cos2a=1得出的是cosa=±,再由a是锐角，cosa大于0，得出正确结论。
典型热点考题】
例1 计算：(+1)0-|sin60°-1|-(1+(-1)3(2024年武汉市中考题)
解：(+1)0-|sin60°-1|-(1+(-1)3
简析：简单运用sin60°的值进行计算。
例2 在斜边为10的rt△abc中，∠c=90°，两直角边a、b是方程x2-mx+3m+6=0的两个根。(1)求m的值；(2)求两个锐角的正弦值。(2024年济南市中考题)
解：依题意：a+b=m,ab=3m+6
a2+b2=102∴m2-2(3m+6)=102
解这个方程得：m1=-8,m2=14
a+b＞0,∴m=14
原方程为：x2-14x+48=0
解之得：x1=8,x2=6
当a=6,b=8,c=10,sina=,sinb=
当a=8,b=6,c=10时，sina=,sinb=
简析：(1)是用方程的有关知识解题，问题(2)是用定**题，关键注意题中没有明确a、b的大小，从而需加以讨论说明。
例3 已知△abc的边ac=，∠a=45°，cosa、cosb是方程4x2-2(1+)x+m=0的两根，求∠b的度数。(2024年呼和浩特市中考题)
解：∵∠a=45°∴sina=
由根与系数的关系：cosa+cosb= (1+)
cosb=,∠b=60°
简析：此题将一元二次方程和三角函数结合在一起，要求我们具有综合运用知识的能力。
同步达纲练习】(时间：45分钟，满分：100分)
一、填空(6分×5=30分)
1)若sinb=，则∠b度；sina=，则∠a度。
2)当α为锐角时。
3) +1-cos60
4)已知2sinα-=0，则。
5)在rt△abc中，∠c=90°，ac=，bc=，则sinasinbcosa
二、选择题(6分×5=30分)
1)已知α为锐角，且sinα=m,则m的取值范围是( )
a.一切实数。
2)已知cosa(a为锐角)是方程3x2-4x+3=0的实根，则cosa等于( )
abc.或。
3)已知锐角∠aob，p是ob边上任一点，过p作pq⊥oa于q，设oq=x，qp=y,op=r，则比值的大小与点p及∠aob的关系是( )
a.由p点的位置决定，与∠aob的大小无关b.由∠aob的大小决定，与点p位置无关。
c.由∠aob的大小和点p位置决定d.与∠aob的大小和点p位置无关。
4)中△abc中，∠c=90°，sina=,则cosb=(
abcd.
5)已知q为锐角，则下列等式中，可能成立的是( )
sinqsinq+cosq=0cosq= (a＞0sinq-cosq=0
abcd.①④
三、解答题(8分×5=40分)
1)已知三角形三边长分别是5，12，13.①判断此三角形的形状 ②求最小角的正弦和余弦值。
2)在rt△abc中，∠c=90°，a:b=4:5，求sina、cosa的值。
3)计算-2+|sin20°-1|
4)计算sin45°·cos45°-cos245°+sin230°
5)已知sin75°=，求的值。
素质优化训练】
1.设cosq+sin2q=1,q为锐角，下而的结论正确的是( )
与1的大小关系不能确定。
2.已知在rt△abc中，∠c=90°，且sina和cosb是方程4x2+px+1=0的两根，(1)求证：p+4=0;(2)求∠a和∠b的度数。
3.已知17cosa+13cosb=17,17sina=13sinb,且a、b都是锐角，求+b的值。
生活实际运用】
一般向正东方向航行，上午十时在灯塔的西南方58.4海里处，到上午十二时船到达灯塔的正南方，求船航行的速度。
参***。同步达纲练习】
一°(2)1-sinα (3)2- (4)60°(5)
二、c b b a c
三、(1)rt△，sina=，cosa= (2)设a=4k，则b=5k,∴c=k,∴sina=.cosa= (3)1- (4) (5)∵sin75°=cos15°,∴原式=
素质优化训练】
1．d2．∵a+b=90°∴sina=cosb, ∴方程4x2+px+1=0有两个实根，∴△p2-16=0，p=4当p=4时，x=-,此时sina＜0，舍去，当p=-4时，x=，即sina=cosb= ∴a=30°∠b=60°，p+4=0.
3．作△abc中，使ab=ac=13，过c作cd⊥ab于d.，中cd=17，sina=13cosb,ad=17cosa,bd=13cosb,且17cosa+13cosb=ab=17,则在△abc中，∠a、∠b符合题目条件，又∠a+2∠b=180°，∴b=90°
生活实际运用】
ac=ab·cos45°=58.4×=29.2，∴速度v==14.6海里/时。
九年级数学上册413正弦和余弦教案 新版 湘教版
九年级数学上册413正弦和余弦教案 新版 湘教版。教学目标。知识与技能 1.进一步认识正弦和余弦 2.正弦和余弦的综合应用。过程与方法 通过合作交流，能够根据直角三角形中边角关系，进行简单的计算。情感态度 经过探索，引导 培养学生观察，分析 发现问题的能力。教学重点 直角三角形中锐角的正弦 余弦的综...
九年级数学上4 1正弦和余弦 湘教版3份
九年级数学上4.1正弦和余弦 湘教版3份 第4章锐角三角函数 1正弦和余弦。第1课时正弦及30 角的正弦值。通过具体实例，分析 比较后，知道 当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值也固定 的事实 了解正弦的概念，知道特殊角30 的正弦值，并能根据正弦的相关概念进行计算 阅读教材p109 11...
九年级数学《正弦》教学设计
梅田中学牡丹之歌。教学目标。知识与技能 1 使学生初步了解正弦的概念 2 能够正确地用sina表示直角三角形中两边的比。过程与方法 1 通过具体实例，引导学生比较 分析，得出 当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值也都固定 结论。2 逐步培养学生的观察 比较 分析 概括等思维能力。情感态度与...