2023年上海市初中数学竞赛（新知杯）模拟试卷。
一。填空题（第1-5题每题8分，第6-10题每题10分）
1.已知函数的值域为，则。
0, 将代入得不等式
又函数的值域为，函数值能取到1和3，即。
有解，故得c＝2，b＝2
2.已知并且，则的取值范围是。
3.设在平面上，，所围成图形的面积为，则集合的交集所表示的图形面积为
在xoy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，的图形在第一象限的面积为a＝。
因此的图形面积为。
4.的最小值为。
定义域为，在上是减函数，在上是增函数，故。
5. 设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k
设，从而是平方数，设为
（负值舍去）
6. 圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有个交点。
圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等，故有个交点。
7. 已知的图像与轴有两个不同的交点且，则的值为 .
首先，由，得a>0或a<，由题意，可设则，所以，
解得a=0.5或者a=0(舍)。故a=
8. 对给定的整数，符号表示中使能被3整除的唯一值，那么。
由二项式定理知，，即被3除余1，， 故。
9. 已知为非负数，则的最小值为。
10. 将方程（表示不超过的最大整数）的实数解从小到大排列成，则。
16 ,当时，，，
由于，验证可知，此时，，此时。
当时，无解。
当时，，由于，故。又。
由得。当时，不成立；又。
易得，,∴0
二。(15分) 在△abc中，ab＞bc，k、m分别是边ab和ac的中点，o是△abc的内心。设p点是直线km和co的交点，而q点使得qp⊥km且qm∥bo，证明：qo⊥ac。
证：作or⊥ac于r，过p作mk的垂线，交直线or于q点（如图）。这样只需证q’m∥o，因为这时q和q’重合。
因为k，m分别为ab和ac的中点，所以km∥bc，于是∠mpc＝∠bcp＝∠acb＝∠mcp。因此mp＝mc＝ma，这样一来，p点在以ac为直径的圆周上，且∠apc＝90°。
在四边形apor中，∠apo＝∠aro＝90°，所以apor内接于圆，∠rpo＝∠rao＝×∠bac。
在四形边mpq’r中，∠mpq’＝∠mrq’＝90°，所以mpq’r内接于圆，于是∠q’mr＝∠q’pr＝∠q’po＋∠opr＝（90°－∠opm）＋∠bac＝（90°－∠acb）＋∠bac。
设bo交ac于d，在△bdc中，∠bdc＝180°－∠acb－∠abc＝90°＋∠bac－∠acb＝∠q’mr，因此mq’∥bo，于是本题得证。
三（15分）设，，且中元素满足：对任何，恒有．
1）试说明：集合的所有元素之和必为偶数；
2）如果，试求的值．
解：（1）将集合的所有元素分组为、、…共100组；由已知得，集合的100个元素只能从以上100个集合中各取一个元素组成．
以上100个集合中，奇数同时出现，且含奇数的集合共50个，集合的所有元素之和必为偶数。
（2）不妨设为依次从以上前99个集合中选取的元素，且记各集合的落选元素分别为，则，由于=
而+=，10002-100=9902， =19800-9902=9898
由①②得： =1328750
四。（15分）正 2006 边形 p 的一条对角线称为好的，如果它的两端点将 p 的边界分成的两部分各含p 的奇数条边．p 的边也是好的．
设 p 被不在 p 的内部相交的 2003 条对角线剖分为三角形．试求这种剖分图中有两条边为好的等腰三角形个数的最大值．
解：对于剖分图中的任一三角形abc，p的边界被a，b，c分为3段，a-b段所含p的边数记作m(ab)．由于m(ab)+ m(bc)+ m(ca)=2006，故等腰三角形若有两条好边，它们必是两腰．称这样的等腰三角形为好三角形．
考虑任一好三角形 abc(ab=ac)．a-b 段上若有别的好三角形，其两腰所截下的 p 的边数为偶数．由于剖分图中的三角形互不交叉，而 a-b 段上 p 的边数为奇数，故a-b段上必有p的一边α不属于更小的腰段，同理a-c段上也有p的一边β不属于更小的腰段，令△abc 对应于．由上述取法，两个不同的好三角形对应的二元集无公共元，因此好三角形不多于=1003 个．
设 p=a1a2…a2006，用对角线 a1a2k+1(1≤k≤1002)及 a2k+1a2k+3(1≤k≤1001)所作的剖分图恰有1003 个好三角形．因此，好三角形个数的最大值是1003．
五。(15分) 求最小实数m，使得对一切实数 a，b，c都成立不等式
解： 设，则．
原不等式成为。
中两个同号而与另一个反号．不妨设．则。
．于是由算术－几何平均不等式。
即时原不等式成立．
等号在，，即时达到，故所求的最小的．
2019新知杯模拟试卷 最后一卷 答案
2011年上海市初中数学竞赛 新知杯 模拟试卷。上午9 00 11 00 班级姓名学号。解答本试卷可以使用计算器，本卷没有答题纸。一 填空题 每题9分，共90分 1 设a为质数，b，c为正整数，且满足，那么a b c 的值是 解 1 式即 2 设m n 则2 b c 3 故3 n 511 m 6 a...
2023年新知杯模拟试题 含答案
1 已知m,n为整数，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根。求n的最小值，并说明理由。2.在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为。4.在长方形abcd中，ef ab，gh ad，ef与gh相交于o，hc与ef相交于i。已知ah hb ae ed m n,coi的面积为1平方厘米，...
2023年新知杯试题
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