2023年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷。
2023年12月4日上午9:00~11:00）
解答本试卷可以使用科学计算器。
一、 填空题（每题分，共分）
1. 已知关于的两个方程：①，其中。若方程①中有一个根是方程②的某个根的倍，则实数的值是。
2. 已知梯形中， /则梯形的面积为。
3. 从编号分别为，，，的张卡片中任意抽取张，则抽出卡片的编号都大于等于的概率为。
4. 将个数，，，排列为，，，使得的值最小，则这个最小值为。
5. 已知正方形的边长为，，分别是边，上的点，使得，，线段与相交于点，则四边形的面积为。
6. 在等腰直角三角形中，，是内一点，使得，，，则边的长为。
7. 有名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得分，平局得分，负得分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第名的得分是最后五名选手的得分和的，则第名选手的得分是。
8. 已知，，，都是质数（质数即素数，允许，，，有相同的情况），且是个连续正整数的和，则的最小值为。
二、 解答题（第，题，每题分，第，题，每题分，共分）
9. 如图，矩形的对角线交点为，已知，角的平分线与边交于点，直线与相交于点，直线与相交于点m。求证：。
解。10. 对于正整数，记。求所有的正整数组，使得，且。
解。11. （1）证明：存在整数，，满足；
2）问：是否存在整数，，满足证明你的结论。
解。12. 对每一个大于的整数，设它的所有不同的质因数为，，，对于每个，存在正整数，使得，记例如，。
1）试找出一个正整数，使得；
2）证明：存在无穷多个正整数，使得。解。
2023年新知杯试题
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